Equação de Schroedinger independente do tempo

por silva992 Ter 20 Nov 2018, 11:36

Alguém poderia me ajudar a resolver?

Demonstre, por substituição direta na equação de Schroedinger, que a função de onda:

Ψ(x, t) = ψ(x)e^(−i Et/ h(cortado))

satisfaz esta equação se a autofunção ψ(x) satisfizer a equação de Schroedinger independente do tempo para um potencial V(x).

por Dirac Sea Sáb 24 Nov 2018, 21:07

Caro silva992,

Por substituição directa na equação de Schrödinger dependente do tempo temos que:

\left[ - \frac{ \hbar }{2 m} \frac{d^2}{dx^2} +V(x) \right] \Psi (x,t) = i \hbar \frac{d}{dt} \Psi (x,t) \\
\Leftrightarrow \left[ - \frac{ \hbar }{2 m} \frac{d^2}{dx^2} +V(x) \right] \Psi (x) e^{-i \frac{Et}{\hbar}} = i \hbar \frac{d}{dt} \Psi (x) e^{-i \frac{Et}{\hbar}} \\
\Leftrightarrow e^{-i \frac{Et}{\hbar}} \left[ - \frac{ \hbar }{2 m} \frac{d^2}{dx^2} +V(x) \right] \Psi (x) = i \hbar \Psi (x) \frac{d}{dt} e^{-i \frac{Et}{\hbar}} \\
\Leftrightarrow e^{-i \frac{Et}{\hbar}} \left[ - \frac{ \hbar }{2 m} \frac{d^2}{dx^2} +V(x) \right] \Psi (x) = i \hbar \Psi (x) \frac{-i E}{\hbar} e^{-i \frac{Et}{\hbar}} \\
\Leftrightarrow \left[ - \frac{ \hbar }{2 m} \frac{d^2}{dx^2} +V(x) \right] \Psi (x) = E \, \Psi (x),

onde agora temos na última linha a equação de Schrödinger independente do tempo.

Espero que tenha ficado claro.

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