(ITA) Produto das raízes de equação álgébrica

Seja p(x) um polinômio de grau 3 tal que p(x) = p(x + 2) - (x^2) - 2, para todo x real. Se - 2 é uma raiz de p(x), então o produto de todas as raizes de p(x) é:

Resposta: -36

Usei relações de Girard mas não consegui resolver...

p(x) = p(x +2) -x^2 -2

O único dado fornecido é de que p(-2) = 0, portanto usaremos isso para resolver:

Substituindo x por -2 ---> p(-2) = p(0) -4 -2 ---> p(0) = 6 --> perceba que esse 6 corresponde ao termo independente de x do polinômio. Chamando ele de "d", temos que d=6.

Devemos achar mais pontos de p(x) de modo a achar seus coeficientes, portanto substituamos x por - 4(para que p(x + 2)= p(-2))

p(-4) = p(-2) -16 -2 ---> p(-4) = -18.

Devemos achar mais um ponto para que tenhamos três equações e três incógnitas(os três coeficientes que faltam achar no polinômio)

Substituamos x por 0, pois já descobrimos os valor de p(0)

p(0) = p(2) - 2 -----> p(2) = 8

Portanto, temos os seguintes pontos no plano de coordenadas cartesianas(x,y) --> (-2,0) ; (-4, -18) ; (2, . Montemos o sistema:

p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

-8a + 4b -2c + 6 = 0(i)

-64a + 16b -4c + 6 = -18(ii)

8a + 4b + 2c + 6 = 8(iii) ----> Somando i + iii, temos:

8b + 12 = 8 ---> 8b = -4 ---> b = -1/2

Somando ii + 2iii, temos:

-48a + 24b + 18 = -2 ----> -12a + 6b + 5 = 0, mas b = -1/2, portanto:
-12a -3 + 5 = 0 ---> -12a = -2 -----> a =1/6

Finalmente, aplicando Girard para o polinômio, temos:

P= -d/a, em que P é o produto das raízes ----> P = -6/1/6 ----> P = -36. 

Abraços.

valeu paulinoStalker! Obrigado! muito bacana a resolução!