Circunscrição de sólidos

por Victor Luz Dom 28 Jan 2018, 17:50

Sendo h e g os comprimentos, respectivamente, da altura e da geratriz de um cone, calcule o volume da esfera circunscrita a esse cone.

Gabarito: (∏/6)(g^6/h^3)

por Skyandee Dom 28 Jan 2018, 18:46

R será o raio da nossa esfera e r será o raio do nosso cone. Assim, temos que:

\\\begin{cases}g^2=h^2+r^2\\R^2=r^2+(h-R)^2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}g^2=h^2+r^2\\R^2=r^2+h^2-2hR+R^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}g^2=h^2+r^2\\2hR=h^2+r^2\end{cases}\\\\\\\therefore \boxed{R=\frac{g^2}{2h}}\\\\\\V_{esf.}=\frac{4}{3}\pi R^3 \Leftrightarrow V_{esf.}=\frac{4}{3}\pi \left (\frac{g^2}{2h} \right )^3 \Leftrightarrow V_{esf.}=\frac{4}{3}\pi\frac{g^6}{8h^3}\;\; \therefore \boxed{V_{esf.}=\frac{\pi }{6} \frac{g^6}{h^3}}

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