Determine o volume do paralelepípedo

Determine o volume e a área total de um paralelepípedo retângulo dada a soma de suas dimensões 43a, a diagonal 25a e a área de uma face 180a².

Gabarito: V = 2880 a³ ; S= 1224 cm ²

Sejam as três diferentes dimensões do sólido x (comprimento), y (largura) e z (altura).

Parte 1: Valor de S

x + y + z = 43a [I]

d² = x² + y² (diagonal da base)
D² = d² + z² (diagonal do poliedro)
D² = x² + y² + z²

625a² = x² + y² + z² [II]

[I]² gera [II] por produtos notáveis.

(x + y + z)² = (x² + y² + z²) + 2(xy+xz+yz)
(43a)² = (625a²) + 2.(xy+xz+yz)

1224 a² = 2.(xy + xz + yz)
S = 1224 a²


Parte 2: Valor de V

V = xyz
Af = xy ou xz ou yz [suponhamos que seja xy]

1224a² = 2.(xy+xz+yz)
(xz+yz+180a²) = 612a²

z(x+y) = 432a² [III]
x+y = 43a - z [I]

[III] em [I]:

z(43a-z) = 432a²
(-1).z² + 43z.a - 432.a² = 0
...[limpando a equação]...
z² - 43z + 432 = 0

z' = 16a
z'' = 27a

(x+y)' = 27a
(x+y)'' = 16a
(x+y) = w

x.y = 180a²
x = w - y
y(w-y) = 180a²

β: w = 27a
y(27a-y) = 180a²
-y² + 27y.a -180 a² = 0

y = 12a ou 15a (soluções reais e positivas, validando a existência do sólido)

δ: w = 16a
-y² + 16y - 180a² = 0

Soluções imaginárias, invalidando a C.E.. Portanto, 'w' obrigatoriamente deve ser 27a, sendo z equivalente a 16a.

V= xy.z = 180a².16a
V = 2880a³

Este é um excelente exercício, avise se tiver alguma dúvida