racionalização

por gabrielatofoli Ter 19 Dez 2017, 00:51

Simplificando a expressão racionalização 50ins

obtemos o valor: gabarito = -1

por renan2014 Ter 19 Dez 2017, 12:25

Quando eu olhei tal problema, eu já relacionei com a fórmula do termo geral de Fibonacci. (Caso não saiba, dê uma pesquisada para saber o que é a sequência de Fibonacci)

Termo geral de Fibonacci:
$F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left [ \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{n}- \left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{n} \right ]$

Vamos desenvolver:
$\frac{\left ( 1-\sqrt{5} \right )^{5}-\left ( 1+\sqrt{5} \right )^{5}}{160\sqrt{5}}$ ... $-\frac{ \frac{(1+\sqrt{5} )^{5} - ( 1-\sqrt{5} )^{5}}{\sqrt{5}} }{160}$

Vou jogar o 32 para cima de modo que apareça o 2^5.

$-\frac{ \frac{(1+\sqrt{5} )^{5} - ( 1-\sqrt{5} )^{5}}{32\sqrt{5}} }{5}$

Comparando com o termo geral de Fibonacci, o numerador é o quinto termo da sequência.

1 1 2 3 5

Logo, teremos $-\frac{ \frac{(1+\sqrt{5} )^{5} - ( 1-\sqrt{5} )^{5}}{32\sqrt{5}} }{5}=-\frac{5}{5}=-1$ .

por **Elcioschin** Ter 19 Dez 2017, 12:45

Outro modo:

(1 - √5)⁵ = 1 - 5.√5 + 10.5 - 10.5.√5 + 5.5² - 25.√5 ---> calcule ---> I
(1 + √5)⁵ = 1 + 5.√5 + 10.5 + 10.5.√5 + 5.5² + 25.√5 ---> calcule ---> II

Calcule I - II

Multiplique numerado e denominador por √5, para racionalizar

por **Matheus Tsilva** Ter 19 Dez 2017, 12:52

OUtro modo:

por **petras** Ter 19 Dez 2017, 12:54

\\(a - b)^5 = a^5- 5a^4b+ 10a^3b^2- 10a^2b^3+ 5ab^4- b^5\\\ \\(1-\sqrt{5})^5=1-5\sqrt5+50-50\sqrt5+125-25\sqrt5=-80\sqrt5+176\\\ \\(1+\sqrt{5})^5=1+5\sqrt5+50+50\sqrt5+125+25\sqrt5=80\sqrt5+176 \\\ \\ \frac{(1-\sqrt{5})^5-(1+\sqrt5)^5} {160\sqrt5}=\frac{-80\sqrt5+176-(80\sqrt5+176)}{160\sqrt5}=\frac{-160\sqrt5}{160\sqrt5}=\ \boxed {\boxed{ -1 }}

por evandronunes Ter 19 Dez 2017, 12:54

Outro modo é:

\frac{\left ( 1-\sqrt{5} \right )^{5}-\left ( 1+\sqrt{5} \right )^{5}}{160\sqrt{5}}=

\frac{\left [ ( 1-\sqrt{5})^2 \right ]^{2}(1-\sqrt{5}) -\left [ ( 1+\sqrt{5})^2 \right ]^{2}(1+\sqrt{5})}{160\sqrt{5}}=

\frac{\left ( 1-2\sqrt{5}+5 \right )^{2}(1-\sqrt{5}) -\left ( 1+2\sqrt{5}+5 \right )^{2}(1+\sqrt{5})}{160\sqrt{5}}=

\frac{\left ( 6-2\sqrt{5} \right )^{2}(1-\sqrt{5}) -\left ( 6+2\sqrt{5} \right )^{2}(1+\sqrt{5})}{160\sqrt{5}}=

\frac{\left ( 36-24\sqrt{5}+20 \right )(1-\sqrt{5}) -\left ( 36+24\sqrt{5}+20 \right )(1+\sqrt{5})}{160\sqrt{5}}=

\frac{\left ( 56-24\sqrt{5} \right )(1-\sqrt{5}) -\left ( 56+24\sqrt{5} \right )(1+\sqrt{5})}{160\sqrt{5}}=

\frac{\left ( 176-80\sqrt{5} \right ) -\left ( 176+80\sqrt{5} \right )}{160\sqrt{5}}=

\frac{-160\sqrt{5} }{160\sqrt{5}}=

-1

por gabrielatofoli Ter 19 Dez 2017, 22:40

Obrigada a todos! Todas as resoluções me ajudaram muito, lembrei de coisas que já tinha esquecido como a sequência de Fibonacci. Valeu, até próxima Very Happy