UFRGS 2014

por Lara000 Sex 15 Dez 2017, 17:07

Construídas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, as inequações x²+y²<4 e y < x + 1 delimitam uma região no plano. O número de pontos que estão no interior dessa região e possuem coordenadas inteiras é:

a) 5 b) 6 c)7 d) 8 e)9

Resposta: b

Comentário: vi uma resolução que tratava a primeira inequação como circunferência. Porém, a fórmula de circunferência em GA é uma equação. Então por que posso considerar como circunferência?

por **Giovana Martins** Sex 15 Dez 2017, 17:31

Enunciado correto: Construídas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, as inequações x² + y² < 4 e y < x + 1 delimitam uma região no plano. O número de pontos que estão no interior dessa região e possuem coordenadas inteiras é:

De fato, a relação que descreve uma circunferência é uma equação. No caso em que tem-se x² + y² < 4, a interpretação que você dá para isso é a seguinte: qual é o conjunto de valores x e y (com x, y ∈ ℤ) tais que a soma dos seus quadrados resultem em um valor menor que 4? Inicialmente, podemos tratar a inequação como uma equação apenas para que possamos fazer um esboço da situação de tal modo que o mesmo nos ajude a solucionar o exercício. O mesmo vale para a inequação y < x + 1. Do esboço, temos:

Para x² + y² < 4 hachuramos apenas a parte interna da circunferência. A hachura simboliza o conjunto de pares (x,y) tais que a soma dos quadrados das coordenadas x e y resulta em um valor menor que 4. A circunferência que delimita o círculo está tracejada, pois isso indica que os pares (x,y) que estão contidos nesta curva não são soluções da inequação, ou seja, se tomarmos um par (x,y) pertencente à curva tracejada teremos a seguinte situação:

x² + y² = 4

o que viola o enunciado, o qual nos diz que o par (x,y) tomado é tal que x² + y² < 4. Por exemplo, tomemos o ponto (2,0):

(2)² + (0)² < 4 -> 4 < 4 (falso)

A construção da região y < x + 1 é feita de maneira análoga, por isso hachuramos a parte que está abaixo da curva y = x + 1.

Da intersecção entre x² + y² < 4 e y < x + 1 tem-se 6 pares (x,y) de coordenadas inteiras.

Nota: a região hachurada de azul mais intenso é a região pedida pelo enunciado.

Em caso de dúvidas, avise-me.

Nota: por favor, esteja mais atenta quanto aos enunciados de suas postagens.