Equações irracionais

por jose16henrique campos de Ter 10 Out 2017, 19:17

Sendo a e b números reais não nulos resolva a equação

√[a^2+x√(b^2+x^2-a^2)]= x - a

Como resolvo isso ?

por **Elcioschin** Qua 11 Out 2017, 00:28

Bem fácil:

√[a² + x.√(b²+ x² - a²)] = x - a ----> elevando ao quadrado:

a² + x.√(b²+ x² - a²) = x² - 2.a.x + a²

x.√(b²+ x² - a²) = x.(x - 2.a) ---> Uma solução é x = 0

√(b²+ x² - a²) = (2.a - x) ---> Elevando ao quadrado:

b² + x² - a² = 4.a² - 4.a.x + x²

4.a.x = 5.a² - b² ---> x = (5.a² - b²)/4.a

por jose16henrique campos de Qua 11 Out 2017, 16:05

Elcioschin escreveu:Bem fácil:

√[a² + x.√(b²+ x² - a²)] = x - a ----> elevando ao quadrado:

a² + x.√(b²+ x² - a²) = x² - 2.a.x + a²

x.√(b²+ x² - a²) = x.(x - 2.a) ---> Uma solução é x = 0

√(b²+ x² - a²) = (2.a - x) ---> Elevando ao quadrado:

b² + x² - a² = 4.a² - 4.a.x + x²

4.a.x = 5.a² - b² ---> x = (5.a² - b²)/4.a

Como você fez pra descobrir que uma solução é x=0 essa parte nao consegui entender, tem como você me explicar ?

por **Elcioschin** Qua 11 Out 2017, 16:28

Fazendo x = 0 na equação da 3ª linha você obterá 0 = 0

Ou então:

x.√(b²+ x² - a²) - x.(x - 2.a) = 0 ---> Colocando x em evidência:

x.[√(b²+ x² - a²) - (x - 2.a)] = 0 ---> Forma fatorada: iguale a zero cada fator.

por jose16henrique campos de Qui 12 Out 2017, 11:16

Elcioschin escreveu:Fazendo x = 0 na equação da 3ª linha você obterá 0 = 0

Ou então:

x.√(b²+ x² - a²) - x.(x - 2.a) = 0 ---> Colocando x em evidência:

x.[√(b²+ x² - a²) - (x - 2.a)] = 0 ---> Forma fatorada: iguale a zero cada fator.

Blz, no livro diz que as soluções são dadas para a<0 e |b|>=|a|, tem como me explicar isso ou tá errado ?

por **Elcioschin** Qui 12 Out 2017, 12:19

Basta substituir na equação original, por exemplo, para x = 0:

√[a² + x.√(b²+ x² - a²)] = x - a

√[a² + 0.√(b² - a²)] = 0 - a

√(a²) = - a

Devemos ter, portando a < 0 pois a raiz do 1º membro é sempre positiva.

Além disso, em √(b² - a²) devemos ter, obrigatoriamente:

b² - a² ≥ 0 ---> b² ≥ a² ---> |b| ≥ |a|

por jose16henrique campos de Qui 12 Out 2017, 16:26

Elcioschin escreveu:Basta substituir na equação original, por exemplo, para x = 0:

√[a² + x.√(b²+ x² - a²)] = x - a

√[a² + 0.√(b² - a²)] = 0 - a

√(a²) = - a

Devemos ter, portando a < 0 pois a raiz do 1º membro é sempre positiva.

Além disso, em √(b² - a²) devemos ter, obrigatoriamente:

b² - a² ≥ 0 ---> b² ≥ a² ---> |b| ≥ |a|