radiciação

por matemeiro Ter 18 Jul 2017, 17:55

Durante uma olimpíada de Matemática, Paulo, ao resolver uma das questões, obteve como resultado 4 2 + 3, que, de fato, era a resposta correta da questão; porém, nenhuma das alternativas estava escrita dessa forma na prova. Sabendo que uma das alternativas listadas a seguir é equivalente ao resultado obtido por Paulo, a resposta correta para a questão da olimpíada é:

Não conseguir editar as equações, mas está aqui a imagem:

Alguém me explica como chegar a resolução?

por Castiel Ter 18 Jul 2017, 18:27

Isso se chama radical duplo:

$\sqrt{A+\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} + \sqrt{\frac{A-C}{2}}$

$\sqrt{A-\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} - \sqrt{\frac{A-C}{2}}$

$C = \sqrt{A^2-B}$

Essas fórmulas sempre serão válidas quando C for inteiro, ou seja, A² - B for um quadrado perfeito.

$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{4+\sqrt{12}}$

$C = \sqrt{16 - 12} <..> C = \sqrt{4} <..> C = 2$

$\sqrt{\frac{4+2}{2}} + \sqrt{\frac{4-2}{2}} = \sqrt{3} + 1$

Faltou dizer que (V3 + 1) = 2/(V3-1) , mas já explicaram abaixo o procedimento para encontrar esse valor.

por **Elcioschin** Ter 18 Jul 2017, 18:30

√(4 + 2.√3) = a + b.√3

4 + 2.√3 = (a + b.√3)²

4 + 2.√3 = a² + 3.b² + 2.a.b.√3 ---> Comparando termo a termo:

2.a.b = 2 ---> a.b = 1 ---> b = 1/a

a² + 3.b² = 4 ---> a² + 3.(1/a)² = 4 ---> (a²)² - 4.a² + 3 --->

Raízes a² = 1 e a² = 3

Para a² = 1 --> a = 1 --> b = 1 ---> a + b.√3 = 1 + √3

Para a² = 3 --> a = √3 ---> b = √3/3 ---> a + b.√3 = √3 + 1

D) 2/(√3 - 1) = 2.(√3 + 1)/(√3 - 1).((√3 + 1) = 2.((√3 + 1)/(3 - 1) = √3 + 1

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