uneb 2017 - analise combinatoria

UNEB- 17.2 Buscando incentivar a participação e estimular a criatividade, o Departamento de Relações Humanas, RH, de uma empresa, promoveu um sorteio entre seus funcionários, de modo que o número n sorteado tivesse quatro algarismos distintos e não nulos, isto é, n = pqrs, e que o possuidor do número sorteado n só pudesse receber o prêmio se soubesse calcular o seu valor.

Além disso, sabe-se que o valor do prêmio era igual à soma de todos os números de quatro algarismo obtidos, permutando-se os algarismos de n.

Nessas condições, para S= p+q+r+s, pode-se afirmar que o valor do prêmio, em função de S, é:

01) 3030S
02) 3333S
03) 6060S
04) 6666S
05) 9090S
 
Não tenho o gabarito.

Olá, Bruno.

Considerando o número n = pqrs podemos fazer 4 ! = 24 permutações com seus algarismos.

Dessa forma, note que cada um deles (p, q, r, s) aparece 6 vezes em cada ordem (milhar, centena, dezena, unidade).

Então, sendo P o valor do prêmio, podemos escrever:

P = 6 x 1000 x (p+q+r+s) + 6 x 100 x (p+q+r+s) + 6 x 10 x (p+q+r+s) + 6 x 1 x (p+q+r+s)
P = (6000 + 600 + 60 + 6) x (p+q+r+s)
P = 6666 x (p+q+r+s)
P = 6666 x S = 6666S

Abraço

Obrigado FiloParga !