AFA - Natureza dos triângulos

por jhhj234 1/2/2017, 8:04 pm

Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética e as medidas de seus lados constituem uma progressão geométrica. Dessa maneira, esse triângulo NÃO é

a) acutângulo.
b) equilátero.
c) obtusângulo.
d) isósceles.

por **Euclides** 1/2/2017, 9:18 pm

Os ângulos

$\\x-r,\;x,\;x+r\;\;\Rightarrow \;\;(x-r)+x+(x+r)=180\to\;x=60\\\\\therefore \;\;\underset{\text{o menor}}{\underbrace{60-r}},\;60,\;\underset{\text{o maior}}{\underbrace{60+r}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{os lados:}\;\;\;\frac{a}{q},\;a,\;aq\;,\;q\geq1\\\\\\\text{a \'e o lado que se op\~oe ao \^angulo de }60^\circ$

aplicando a lei dos cossenos temos

$\\a^2=\left ( \frac{a}{q} \right )^2+(aq)^2-2a^2\times \cos 60\\\\a^2=\frac{a^2}{q^2} +a^2q^2-a^2\;\;\;\;\;(\div a^2)\\\\1=\frac{1}{q^2} +q^2-1\;\to\;(2-q^2)q^2=1\\\\q^2=y\;\to\;(2-y)y=1\to\;1-2y+y^2=0\\\\y=1\;\;\;\therefore \;\;\;q=1\;\Rightarrow \;\text{3 lados iguais}$

o triângulo é equilátero e não pode ser obtusângulo.

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