Triângulo

Sim mestre o baricentro é o encontro das medianas , mas como vou determinar esse lugar geométrico? Qual artifício ? desculpe mas estou tendo problemas com essa questão.

Euclides,

bonita demonstração mas você a fez para o circuncentro, encontro das mediatrizes.

Entendo que o L.G. do baricentro é uma reta paralela à BC, a 1/3 da sua altura nesse triângulo.

Medeiros escreveu:Euclides,

bonita demonstração mas você a fez para o circuncentro, encontro das mediatrizes.

Entendo que o L.G. do baricentro é uma reta paralela à BC, a 1/3 da sua altura nesse triângulo.

Tem dupla razão:

1. escrevi medianas e desenhei mediatrizes...
2. o LG é tal como você diz.

Nanzinho

não sei se você já conseguiu fazer mas acho que você quer é o desenvolvimento que conclui o que o Euclides mostrou acima. É bem simples. Num triângulo qualquer:
mediana = segmento que vai de um vértice ao ponto médio do lado oposto.
baricentro (G) = encontro das medianas.
propriedade: o baricentro divide a mediana na razão 2:1 a partir do vértice.

Marcamos o lado BC sobre uma reta suporte r. Traçamos uma reta s, paralela à r, por onde o ponto A irá excursionar, e marcamos o ponto A num lugar qualquer. Traçamos a mediana AM. Já sabemos que o baricentro fica sobre AM a 2/3 de A, marcamos o ponto G. Por A, traçamos t perpendicular à r -- sabemos que t contém a altura desse triângulo. Por G traçamos a reta g paralela à r -- g divide a altura em dois segmentos.

Note que AM e t são retas concorrentes cortadas pelo feixe de paralelas {r, s, t}. Basta aplicar o teorema de Tales.

Quando o ponto A excursiona sobre a reta s, a mediana AM muda de tamanho mas o ponto G continua a dividi-la na mesma proporção ( 2k : 1k ) -- por isso foi colocado aquele "k", k=(1/3)*AM. Assim, esteja onde estiver o ponto A, sempre podemos: traçar a altura nesse ponto; traçar a reta g passando por G; e aplicar Tales obtendo o mesmo resultado para x (distância entre as retas g e r).

Isto nos permite concluir que, enquanto A excursiona por s, G excursiona por g. Logo o lugar geométrico do baricentro é uma reta paralela à base BC distando um terço da altura.