Estudo da Variação das funções 2

por EstudanteCiencias Sáb 10 Dez 2016, 03:05

Sejam P=(0,a) e Q=(b,c), em que a,b e c sao numeors reais dados e estritamente positivos. Seja M=(x,0), com 0≤x≤b

a)Determine x para que o perimetro do triangulo PMQ seja minimo.

b)Conclua que o perimetro sera minimo para alfa=beta.

Galera, essa questao é do livro do prof. guidorizzi pagina 278 da 5 edição. Além disso, nao tem gabarito :/

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por **mauk03** Dom 11 Dez 2016, 20:34

PM = √(x² + a²)
QM = √((b - x)² + c²)
PQ = √(b² + (a - c)²)

PQ não depende de x e portanto d(PQ)/dx = 0.

Para o perímetro ser mínimo:
d(PM + QM + PQ)/dx = 0 --> x/√(x² + a²) + (x - b)/√((b - x)² + c²) = 0 --> x = ab/(a - c) ou x = ab/(a + c)

Como c > a, temos x = ab/(a + c).

Para perímetro mínimo tem-se:
tg(α) = a/x = a/(ab/(a + c)) = (a + c)/b
tg(β) = c/(b - x) = c/(b - ab/(a + c)) = (a +c)/b
∴ α = β

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