Raiz real

Mosque que a equação f(x) = x^3 - 2x^2 +3x + a = 0, (a>0) só tem uma raiz real. Diga qual o sinal desta raiz.
Eu compreendo que pelo teorema de Bolzano, (x^3 - 2x^2 +3x) deve ser negativo o suficiente para que quando somado com 'a', f(x) fique negativa. (x^3 - 2x^2 +3x) possui uma raiz real e outras duas complexas, então (x^3 - 2x^2 +3x + a)=0 também terá. Está correta a minha resposta? Obrigado!

eu fiz de outra forma, como não há gabarito não tenho como corrigir...

irei substituir esse a por d
sendo o polinômio:

conhecemos a soma e o produto das raízes:


sendo d>0
sabemos que só há uma raiz real, tomando essa raiz como X1 e as outras:
X2=p+ti 
X3=p'+t'i       sendo p,p' e t,t' reais
substituímos na eq:


como o resultado tem parte imaginária=0

 e

.
no produto temos:


(note que d>0, logo, ele pertence a reta real).

como t'=-t

d é real, ou seja, parte imaginária nula. sabendo disto:
 sabendo que t=-t', deduzimos p=p'.
 
e também:


sabemos que tt e pp são quadrados, logo, positivos
e -d é diferente de 0, X1 DEVE SER < 0.

Obrigado! Tem uma parecida mais rápido:
Um polinômio tem soluções complexas ao pares, logo têm 2 este polinômio.
-A=r(a+bi)(a-bi)=r(a^2+b^2).
Como o segundo fator é positivo, então pelo enunciado constatamos que r<0.
Mas nesse caso não provamos que existe apenas uma raiz real. Se fosse r2 e r3 positivos reais, daria o mesmo resultado.