cone e esfera

Um recipiente com a forma de um cone circular reto, de altura igual a 8 cm, contém apenas uma esfera cujo raio mede 3 cm. Essa esfera tangencia tanto a superfície lateral como a base do cone, conforme ilustra a figura abaixo. O material que constitui a esfera, ao passar para o estado líquido, não altera seu volume. A superfície livre do líquido atinge uma determinada altura h em relação à base de apoio do recipiente. Observe: Desprezando a espessura do recipiente, o valor de h, em centímetros, corresponde a: 

Gabarito: 4 raiz cubica de 3


Obrigada!

Vou começar

Faça um desenho, se possível em escala. Sejam:

AB o diâmetro da base do cone, M o ponto médio de AB e V o vértice
O o centro da esfera, C, D os pontos de tangência dela com AV e BV
Seja MA = MB = R = raio da base do cone

MV = 8
OM = OC = OD = 3
OV = MV - OM ---> OV = 8 - 3 ---> OV = 5

∆ OCV e ∆ BMV são semelhantes: OC/OV  = BM/BV ---> OC²/OV² = BM²/BV² ---> 3²/5² = R²/(R² + 8²)

Calcule R²

Ve = (4/3).pi.3³ ---> Ve = 36.pi = volume do cone de líquido

Vc = (1/3).pi.R².8  ---> Calcule Vc

Estabeleça agora um relação entre os volumes do cone de líquido e o cone total em função das alturas dos mesmos e calcule h