Corpo deslizando em uma esfera

por ViniciusAlmeida12 Sáb maio 07 2016, 23:19

Um pequeno corpo começa a deslizar a partir do topo de uma esfera lisa (sem atrito) de raio R. Encontre o angulo crítico θ, para o qual o corpo perde contato com a superfície da esfera considerando que sua velocidade inicial seja desprezível, isto é, v0 = 0.
Corpo deslizando em uma esfera Rlm61l

Resposta: θ = arccos(2/3)

por **Christian M. Martins** Sáb maio 07 2016, 23:33

Quando o corpo perde contato com a superfície da esfera, a força centrípeta atuante nele deve-se apenas a uma de suas componentes do peso:

mv²/R = P_y

P_y = Pcosθ = mgcosθ

mv²/R = mgcosθ

V pode ser obtido através da conservação de energia, já que sua velocidade inicial era desprezível. Repare que, se tomarmos como referência o plano em que se situa o hemisfério, a altura inicial era R, enquanto a altura final é Rsen(90 - θ) = Rcosθ; assim:

mgR = mgRcosθ + mv²/2
v² = 2gR(1 - cosθ)

(2gR(1 - cosθ))/R = gcosθ
2 - 2cosθ = cosθ
2 = 3cosθ
cosθ = 2/3

θ = arccos(2/3)

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