Numero de Solucoes em inteiros nao-negativos

Boa noite! 

Eu resolvi a questão porem obtive uma resposta diferente do livro. E eu sinceramente acho que o livro contém um erro! O meu professor de Análise resolver uma questão muito parecida e resolveu exatamente como eu. 
Alguém poderia me dizer se o livro está errado ou se eu mesmo que não entendi? Obrigado!

Encontrar o número de soluções em inteiros não-negativos de 


, nas quais exatamente 2 incógnitas são nulas. 

Minha solução: 

Já o livro diz o seguinte: Se exatamente duas dessas incógnitas são nulas, devemos contar o número de soluções em inteiros positivos de , que é igual a  e multiplicar por , que é o número de escolhas das duas incógnitas que terão valor nulo. 

Eu não entendi porque o livro utilizou a solução para Inteiros Positivos e não Inteiros não negativos (o que incluiria o zero). Alguém saberia me explicar?

Bem, você e seu professor erraram por falta de atenção. A vossa solução deixa aberta a possibilidade para que outras incógnitas se tornem nulas e sejam contadas na resposta.
Ao resolver a soluão para interior positivos, o livro garantiu que nenhuma outra incógnita seria zero além das duas escolhidas e, portanto, ele está correto.

Não consegui te entender Poderia explicar melhor? Por que no caso ao meu ver quando tu exclui duas variaveis tu não está contando a possibilidade de qualquer uma das 5 serem nulas.

Wesley, o problema pede que exatamente duas das incógnitas sejam nulas. Para facilitar seu entendimento, suponha que x1 e x2 são 0.

Tem-se, então:
x3 + x4 + x5 = 18.

Se continuar daqui e resolver da forma como você ou seu professor fizeram, estará errado. Você não pode contar as soluções não-negativas; deve-se contar as positivas. Se contar as não negativas, teremos como solução, por exemplo:
x3 = 0, x4 = 0 e x5 = 18. Só que essa não é uma solução válida, porque teríamos x1 = x2 = x3 = x4 = 0, sendo que o problema pede que exatamente duas incógnitas iguais a 0 e aqui teríamos 4. Percebe agora a necessidade de contar as positivas?
Então, as três incógnitas restantes devem valer, no mínimo, 1, para garatir que nenhuma se anule. Então deve-se contar as soluções não negativas de
(x3 + 1) + (x4 + 1) + (x5 + 1) = 18

x3 + x4 + x5 = 15

Porque aí está garantido que somente as escolhidas assumirão valor 0.