( ENEM 2011 ) distância entre pontos e reta

Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando  quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.



A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (–5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto

[list=questao-opcoes]
[*]A
(–5, 0).
[*]B
(–3, 1).
[*]C
(–2, 1).
[*]D
(0, 4).
[*]E
(2, 6).
[/list]

Gabarito: B ( -3, 1 ).

As resoluções disponíveis na internet não resolvem o problema, elas simplesmente mandam você ir testando as alternativas e ver qual encaixa.
Isto é, calcular a distância entre dois pontos para cada alternativa, entre a alternativa e P.

Mas acredito que a intenção do examinador era que o aluno calculasse quais pontos podem fazer parte da reta y = x + 4 e da circunferência de centro ( -5,5 ) e raio 5km ao mesmo tempo. Ou seja, um sistema de duas equações.

Tentei resolver por esse caminho mas a conta não saiu.
É esse o caminho mesmo?
Fingindo que as alternativas não estão aí, que é uma prova de segunda fase, como eu resolveria?

distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km

haverá muitas alternativas. Você deveria testar todas as oferecidas. Um esboço permite escolher mais rapidamente:

Agora com o esboço desenhado, eu entendi o problema.

Olhando para a reta, vemos que o problema só nos deu dois pontos que fazem parte da reta: (-3,1) e (2,6). Os outros já estão descartados, porque não fazem parte da linha do metrô.

(2,6) não faz parte da circunferência de centro (-5,5) e raio 5, porque o maior valor que esta circunferência pode atingir no eixo x é 0.

Logo, só pode ser (-3,1).

Ao contrário do que indicam as resoluções da internet, não precisava de fazer nenhuma conta.

Obrigado!