Polinômios - UFU (2008)

por Rav Sex 19 Fev 2016, 01:18

Boa noite, estou com dúvidas na seguinte questão:

(UFU) Sabe-se que o polinômio p(x) = ax³+ x² + bx + 1, em que a e b são números reais não nulos, é divisível por x–1 e,
além disso, que o resto da divisão de p(x) por x–b é igual a 1.

Desse modo, a respeito de a e b, pode-se afirmar que
A) pelo menos um deles é um número inteiro.
B) o produto a.b é um número irracional.
C) a diferença a–b é um número irracional.
D) não existem números nas condições apresentadas.

Gabarito: C

Como tentei resolver:
I) Assumindo que p(x) é divisível por x-1, o resto seria zero. Por Briot-Ruffini, cheguei em a + b = -2
II) Dividindo p(x) por x-b, e sabendo que o resto é 1, cheguei em ab³ + 2b² = 0 (também utilizando Briot-Ruffini)
Mas não consegui chegar em nenhum resultado! Tentei substituir uma na outra de diversas maneiras, mas parece que está errado... é esse o caminho para resolver questão?

Muito obrigada pela atenção.

por **CaiqueF** Sex 19 Fev 2016, 01:33

ab³ + 2b² = 0
b²(ab+2)=0
Como b é não nulo, então temos que ab=-2

ab=-2 (I)
a+b=-2 (II)

Elevando (II) ao quadrado e multiplicando (I) por -4, temos:

-4ab = 8
a²+b²+2ab = 4

Somando:
a²+b²+2ab-4ab = 12
(a-b)² = 12
|a-b| = √12 = 2√3

por Rav Sex 19 Fev 2016, 02:04

Entendi! Não tinha pensando nesse artifício para aparecer um produto notável...
Valeu! Very Happy

por **CaiqueF** Sex 19 Fev 2016, 04:29

se não enxergasse era só resolver o sistema normalmente

ab=-2 (I)
a+b=-2 (II)

faz a=-2-b e substitui em (I). Voce vai ter uma equação de segundo grau com raizes complexas, é só encontrá-las