Grau de um polinomio

por DanNoom 27/11/2010, 10:15 am

P(x) é um polinomio cujas raizes formam uma PG de razão 2 e primeiro termo igual a 2.O coeficiente do termo de mais alto grau de P(x) é 1 e o termo independente é igual a 2^21.Qual o grau de P(x) ?
Considerei as relações de Girard.A soma das raízes deve ser igual ao term independente sobre o coef. do 1 termo.Portanto devo achar quantas raizes tem P(x) já que 2+2^2+ 2^3+...=2^21. Faço isso achando n na fórmula de soma de PG.
$Sn=\frac{a1(q^n-1)}{q-1}$

$Sn=\frac{2(2^n-1)}{2-1} =2^{21}$
Desenvolvendo fica
$(2^n-1)=\frac{2^{21}}{2}$
QUE É

$2^n =2^{20} +1$
Parei aqui pois nao percebi um modo de achar n.A resposta é 6

por **Elcioschin** 27/11/2010, 10:55 am

DanNoom

Você cometeu um engano:

O produto das raízes é a relação entre o termo independente e o coeficiente de maior grau (1):

2*4*8* ........... = 2^21

Vendo de outro modo:

Vamos escrever P(x) de forma fatorada, para as raízes 2, 4, 8, ..... :

P(x) = (x - 2¹)*(x - 2²)*(x - 2³)*................*(x - 2^n)

O termo independente vale:

(2¹)*(2²)*(2³)*............(2^n) = 2^21

2^(1 + 2 + 3 + ........ + n) = 2^21

No expoente do 1º membro temos a soma dos termos de uma PA em que a1 = 2, an = n, r = 1:

S = n*(n + 1)/2

2^[n*(n + 1)/2] = 2^21 ----> n*(n + 1)/2 = 21 ----> n*(n + 1) = 42 ----> n² + n - 42 = 0

Raízes ----> n = - 7 (não serve) e n = 6