(Escola Naval - 1986) Geometria Espacial

por ALDRIN 23/11/2010, 9:32 pm

Sejam $A$ e $B$ pontos diametralmente opostos em uma esfera de raio $R$ . O volume comum aos cones de revolução inscritos na esfera, com vértices em $A$ e em $B$ e cujas alturas são iguais a $\frac{3R}{2}$ é

(A) $\frac{\pi R^3}{9}$

(B) $\frac{7\pi R^3}{36}$

(C) $\frac{\pi R^3}{12}$

(D) $\frac{2\pi R^3}{9}$

(E) $\frac{\pi R^3}{12}$

por **adriano tavares** 24/11/2010, 12:02 am

Olá,Aldrin.

(Escola Naval - 1986) Geometria Espacial Volumecomum

Primeiro vamos calcular o raio y do cone maior aplicando as relações métricas no triângulo retângulo.

$(BF)^2=(AF).(FC)\Rightarrow y^2=\frac{R}{2}.\frac{3R}{2}\Rightarrow y^2=\frac{3R^2}{4}\Rightarrow y=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Sendo os triângulos CPO e CBF semelhante teremos:

$\frac{PO}{BF}=\frac{CO}{CF}\Rightarrow \frac{x}{\frac{R\sqrt{3}}{2}}=\frac{R}{\frac{3R}{2}}\Rightarrow x=\frac{R\sqrt{3}}{3}$

O volume dos dois cones é dado por:

$V=2.\frac{1}{3}\pi x^2R\Rightarrow V=2\left(\frac{1}{3}.\pi.\frac{3R^2}{9}.R \right )\Rightarrow V=\frac{2\pi R^3}{9}$

Falta agora retirar o volume das duas pirâmides de altura igual a R/2.

Como a razão entre volume de sólides semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança teremos:

$k^3=\left(\frac{\frac{R}{2}}{R}\right)^3 \Rightarrow k^3=\frac{1}{8}$

O volume da pirâmide corresponde a 1/8 do volume do cone de altura R

Logo, o volume comum é dado por:

$V_c=\left(\frac{2\pi R^3}{9}-2\frac{\pi R^3}{72}\right)\Rightarrow V_c=\frac{7\pi R^3}{36}$

Alternativa:B