Eletrostática + Colisões

Dois corpos condutores são eletrizados. O corpo A tem carga q, massa m e raio r. O corpo B tem carga Q < 0, massa M e raio R. Eles são abandonados do repouso a uma distância  d um do outro (distância entre os seus centros). Qual é a velocidade do corpo A imediatamente antes da colisão dos corpos? A constante eletrostática vale K.

Tentei fazer Força elétrica = m.a, achar a aceleração dos corpos e jogar em torricelli, mas sem sucesso. Creio que o caminho seja outro

Ademais, peço realmente desculpas por não ter digitado em Latex as alternativas, acabei me enrolando com tantos caracteres, mas vou separar um tempo para que eu possa aprender a mexer de maneira mais eficiente na ferramenta... Espero que entendam. Att

Giovana Martins escreveu:

Uma tentativa. Ainda não sei onde eu errei. Se alguém encontrar o erro na minha resolução, nos ajude .

[latex]\mathrm{E_{PE}=E_{C_A}+E_{C_B}\to -\frac{K\times Q\times q}{D-R-r}=\frac{1}{2}\times m\times v_A^2+\frac{1}{2}\times M\times v_B^2}[/latex]

[latex]\mathrm{\overset{\to }{Q}_i=\overset{\to }{Q}_f\to -m\times v_A+M\times v_B=0\to v_B =v_A\times \frac{m}{M}}[/latex]

[latex]\mathrm{\frac{K\times Q\times q}{R+r-D}=\frac{1}{2}\times v_A^2\times m\times  \left (\frac{M+m}{M}  \right )\to v_A=\sqrt{\frac{2\times M\times K\times Q\times q}{m\times (m+M)\times (R+r-D)}}}[/latex]

O erro está no fato de que, ao final, a distância entre as duas bolas não é 0, mas R + r. No início, a distância entre os centros era D, então, na energia potencial elétrica inicial, utiliza-se D como distância. Imediatamente antes da colisão, a distância entre os centros é R + r, então utiliza-se R + r como distância para a energia potencial elétrica final.

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Energia potencial de A ---> EpA = q.Ub = q.(-k.Q)/d ---> EpA = - k.q.Q/d

Energia potencial de B ---> EpB = q.Ua = -Q.(k.q)/d ---> EpB = - k.q.Q/d

Sistema inicial ---> Ep = EpA + EpB ---> Ep = - 2.k.q.Q/d

Mas não é isto que acontece, na realidade:

1) A carga -Q não está fixa e +q não é uma carga de prova
2) Ambas se movimentam ao mesmo tempo e, a cada instante, a força de atração é a mesma para ambas. E esta força aumenta à medida em que a distância entre os centros diminui.

Assim, no início, a carga -Q em B, produz no centro de A o potencial Ub ---> EpA = +q.Ub

E a carga +q em A, produz no centro de B o potencial Ua ---> EpB = -Q.Ua

Algumas considerações:

Como a força F aumenta com a distância, o mesmo acontece com a aceleração de cada corpo e a velocidade final de cada corpo.

O problema pode ser resolvido usando Cálculo Integral

Uma tentativa para ser resolvido por energia, considerando M > m é:

Em cada instante a força é a mesma nas duas cargas

Sejam A, a as acelerações de m e M e sejam V, v as velocidades finais de m, M:

F = m.A = M.a ---> A/a = M/m

De modo similar ---> V²/v² = M/m

Seja x a distância entre o ponto de encontro e a carga -Q ---> distância entre ponto de encontro e carga q = d - x

Agora pode-se usar cinemática e energia para tentar resolver.

Eu acho que eu consegui resolver, mais só usando calculo e depois de quebrar muito a cabeça. Esse exercício é de alguma prova militar? Resolução, se A está na origem e B em (D, 0):

Pela segunda terceira lei de newton, sabemos que [latex]F_A = -F_B[/latex]. Mas, então, 

[latex]x_A = (D - x_B)\frac{M}{m}\,\,\,\land\,\,\,x_B = D-x_A\frac{m}{M} [/latex]

Entretanto, apenas a diferença xb - xa é importante para essa questão. Essa diferença é dada por

[latex]x_B - x_A = D - x_A \frac{m}{M} - x_A = D - x_A\frac{M+m}{M}[/latex]


Agora é só fazer a integral de linha da força eletrostática produto escalar xa, com os parâmetros xb - xa = D e xb - xa = R + r. Esse é o teorema do Trabalho-Energia-Cinética. Eu acho que aqui você pode usar alguma regra de conservação de energia, mas eu não tenho certeza se a força é conservativa, já que o campo elétrico, aparentemente, muda, uma vez que as cargas estão em movimento. Assim, 

[latex]\frac{1}{2}mv_a^2=\int^{P_f}_P_i F_e\,dx = \int^{P_f}_P_i \frac{qQK}{(x_B - x_A)^2}\,dx = qQK\,\int^{P_f}_P_i\frac{1}{(x_B - x_A)^2}\,dx[/latex]

Dai da pra resolver a integral por substituição, 

[latex]u = x_B - x_A = D - x_A\frac{M+m}{M}[/latex]

[latex]-du \frac{M}{M+m} = dx[/latex]

[latex]\int^{P_f}_P_i\frac{1}{(x_B - x_A)^2}\,dx = -\frac{M}{M+m}\int^{P'_f}_{P'_i}\frac{1}{u^2}\,dx = \frac{M}{M+m}\,\frac{1}{x_b - x_a}\Big|^{P_f}_{P_{i}}[/latex]

Mas Pf ocorre quando xb - xa = R + r. Então, em Pf, xa = (D - R - r) M/(M+m). Além disso, Pf se da quando xb - xa = D, ou seja, xa = 0. Portanto, finalmente, 

[latex]\frac{1}{2}mv_a^2=qQK\frac{M}{M+m}\,\left(\frac{1}{D} - \frac{1}{R+r}\right)[/latex]


[latex]v_a=\sqrt{\frac{2\,q\,Q\,K\,M}{m(M+m)}\,\left(\frac{1}{D} - \frac{1}{R+r}\right)}[/latex]

Emfim, com certeza existe um método mais fácil que eu não consigo enxergar. Se alguém encontrar alguma coisa errada, me avisa! valeu.

aitchrpi escreveu:Eu acho que eu consegui resolver, mais só usando calculo e depois de quebrar muito a cabeça. Esse exercício é de alguma prova militar? Resolução, se A está na origem e B em (D, 0):

Pela segunda terceira lei de newton, sabemos que [latex]F_A = -F_B[/latex]. Mas, então, 

[latex]x_A = (D - x_B)\frac{M}{m}\,\,\,\land\,\,\,x_B = D-x_A\frac{m}{M} [/latex]

Entretanto, apenas a diferença xb - xa é importante para essa questão. Essa diferença é dada por

[latex]x_B - x_A = D - x_A \frac{m}{M} - x_A = D - x_A\frac{M+m}{M}[/latex]


Agora é só fazer a integral de linha da força eletrostática produto escalar xa, com os parâmetros xb - xa = D e xb - xa = R + r. Esse é o teorema do Trabalho-Energia-Cinética. Eu acho que aqui você pode usar alguma regra de conservação de energia, mas eu não tenho certeza se a força é conservativa, já que o campo elétrico, aparentemente, muda, uma vez que as cargas estão em movimento. Assim, 

[latex]\frac{1}{2}mv_a^2=\int^{P_f}_P_i F_e\,dx = \int^{P_f}_P_i \frac{qQK}{(x_B - x_A)^2}\,dx = qQK\,\int^{P_f}_P_i\frac{1}{(x_B - x_A)^2}\,dx[/latex]

Dai da pra resolver a integral por substituição, 

[latex]u = x_B - x_A = D - x_A\frac{M+m}{M}[/latex]

[latex]-du \frac{M}{M+m} = dx[/latex]

[latex]\int^{P_f}_P_i\frac{1}{(x_B - x_A)^2}\,dx = -\frac{M}{M+m}\int^{P'_f}_{P'_i}\frac{1}{u^2}\,dx = \frac{M}{M+m}\,\frac{1}{x_b - x_a}\Big|^{P_f}_{P_{i}}[/latex]

Mas Pf ocorre quando xb - xa = R + r. Então, em Pf, xa = (D - R - r) M/(M+m). Além disso, Pf se da quando xb - xa = D, ou seja, xa = 0. Portanto, finalmente, 

[latex]\frac{1}{2}mv_a^2=qQK\frac{M}{M+m}\,\left(\frac{1}{D} - \frac{1}{R+r}\right)[/latex]


[latex]v_a=\sqrt{\frac{2\,q\,Q\,K\,M}{m(M+m)}\,\left(\frac{1}{D} - \frac{1}{R+r}\right)}[/latex]

Emfim, com certeza existe um método mais fácil que eu não consigo enxergar. Se alguém encontrar alguma coisa errada, me avisa! valeu.

É de um simulado do Estratégia Militares para prova da Espcex... Sou zerado em cálculo, infelizmente... Quem sabe um dia eu não desenrole dessa forma kkkkkk. Ótima resolução!!