Combinação de números

No sistema de numeração decimal, quantos
números de três dígitos distintos podemos formar,
de modo que a soma dos dígitos de cada um destes
números é um número impar?

R.: 320

Olá,

Em questões assim, chame o número de XYZ. Fica mais fácil.

A parte difícil é de mentalizar quais somas vão dar ímpar. Tem que saber um pouco de teoria dos números.

1) ÍMPAR + ÍMPAR + ÍMPAR = ÍMPAR 
2) ÍMPAR + ZERO + ÍMPAR = ÍMPAR
3) ÍMPAR + ÍMPAR + ZERO = ÍMPAR
4) ÍMPAR + PAR + ÍMPAR = ÍMPAR
5) ÍMPAR + ÍMPAR + PAR = ÍMPAR
6) PAR + ÍMPAR + ÍMPAR = ÍMPAR

Então vamos ter números da forma
1) XYZ
2) X0Z 
3) XY0
4) XYZ
5) XYZ
6) XYZ

Deixo o resto com você, ok? To com pressa pra ver umas coisas aqui antes da fuvest..
Deve haver um outro meio mais fácil e elegante, mas em vestibular a gente tem que fazer do primeiro que vem à cabeça.

Obrigada

Eu havia esquecido das combinações "Ímpar + Par + Par" (havia contabilizado apenas as "Ímpar + Ímpar + Ímpar" -> 60 combinações, "Par + Ímpar + Par" -> 80 combinações e "Par + Par + Ímpar" -> 80 combinações). Faltavam apenas as 100 das combinações "Ímpar + Par + Par" para completar as 320 da resposta.

Juliana firmino escreveu:Obrigada

Eu havia esquecido das combinações "Ímpar + Par + Par" (havia contabilizado apenas as "Ímpar + Ímpar + Ímpar" -> 60 combinações, "Par + Ímpar + Par" -> 80 combinações e "Par + Par + Ímpar" -> 80 combinações). Faltavam apenas as 100 das combinações "Ímpar + Par + Par" para completar as 320 da resposta.

Ah sim, que bom você ter ido longe na resolução. Esse problema é relativamente difícil (por envolver teoria dos números).

Tem um jeito melhor: utilizar o princípio da exclusão.
Dessas combinações aí que citei na minha resposta anterior, só falta a PAR + PAR + PAR para completar todas as possíveis (se não me engano)

Aí a gente faz o seguinte:
Vê que o total de números distintos que a gente pode formar é 9 * 9 * 8 = 648.
Depois acha quantos são compostos por três numeros pares, e desconta o resultado de 648..

É essencial no estudo da combinatória saber de cara quando fazer uso desse princípio, ele costuma poupar um trabalho de Hércules..

Veja como fica pelo principio da exclusao:
total de numeros:
9*9*8= 648
total de numeros cuja soma é par:
par + par + par = 4*4*3=48
par + impar + impar = 4*5*4=80
impar + par + impar = 5*5*4=100
impar + impar + par = 5*5*4=100
total: 48+80+100+100=328.
Fazendo a exclusao:
648 - 328 = 320.
Qual metodo é mais eficiente?