Transformações trigonométricas

por keedledum Dom 18 Out 2015, 13:36

Dado o sistema abaixo:
cosx+cosy=1
senx+seny=V3

Nessas condições, qual é o valor do arco (x-y) pertencente ao 1° quadrante, em radianos?
a) pi
b) pi/2
c) pi/3
d) pi/4
e) pi/6

Gabarito:

por **Carlos Adir** Dom 18 Out 2015, 14:42

Uma boa maneira é utilizar protasferese:
Demontração de identidades trigonométricas
$\\ \mathrm{cos \ x + cos \ y = 2 \cdot cos \dfrac{x+y}{2}\cdot cos \dfrac{x-y}{2}} \\ \mathrm{sen \ x + sen \ y = 2 \cdot sen \dfrac{x+y}{2}\cdot cos \dfrac{x-y}{2}}$
Portanto, podemos substituir:
$\\ \mathrm{2 \cdot cos \dfrac{x+y}{2}\cdot cos \dfrac{x-y}{2}=1} \\ \mathrm{2 \cdot sen \dfrac{x+y}{2}\cdot cos \dfrac{x-y}{2}=\sqrt{3}}$
E então, dividir um pelo outro:
$\\ \mathrm{\dfrac{2 \cdot cos \dfrac{x+y}{2}\cdot {\color{Red} cos \dfrac{x-y}{2}}}{2 \cdot sen \dfrac{x+y}{2}\cdot {\color{Red} cos \dfrac{x-y}{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \\ \mathrm{\dfrac{cos \frac{x+y}{2}}{sen \frac{x+y}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow tan \frac{x+y}{2}=\sqrt{3}} \\ \boxed{\mathrm{\therefore x+y=\dfrac{2\pi}{3}}}$
Agora, é só então substituir em qualquer equação, um exemplo é na primeira equação:
$\\ \mathrm{cos \left(\dfrac{2\pi}{3}-y \right )+cos \ y = 1} \\ \mathrm{\dfrac{-1}{2}cos \ y + \dfrac{\sqrt{3}}{2}sen \ y + cos \ y = 1} \\ \mathrm{\dfrac{1}{2}cos \ y +\dfrac{\sqrt{3}}{2}sen \ y = 1} \\ \mathrm{sen \left(y+\frac{\pi}{6} \right )=1=sen \frac{\pi}{2}} \\ \mathrm{y+\frac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi} \\ \boxed{\mathrm{\therefore y=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi}}$
Então, como a soma dá 2pi/3, então x=pi/3.
Portanto, x=y=pi/3 ---> x-y=0.

Outra maneira é perceber alguns ângulos notáveis:
$\\ \mathrm{cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}; \ \ \ sen \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\ \mathrm{cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ \ \ sen \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}}$
E então, se x=y=pi/3:
$\\ \mathrm{cos \dfrac{\pi}{3}+cos \dfrac{\pi}{3}=1} \\ \mathrm{sen \dfrac{\pi}{3}+sen \dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}} \\ \mathrm{x = y =\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow x-y=0}$

Logo, não existe alternativa correta.

por **Fito42** Seg 19 Out 2015, 00:02

x-y = w
cos(x-y) = cos(w)

1) Subs. os termos com y:
cosx*cosy + sinx*siny =
cosx(1-cosx)+sinx(V3-sinx) =

cosx - cos²x + V3sinx - sin²x =
cosx + V3sinx - 1=
Dividindo tudo por 2:
1/2cosx + V3/2sinx - 1/2 = 1/2cos(w)
Observe que sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + sin(b)*cos(a)
2sin(30+x) = 1+cos(w)

2) Subs. os termos com x e utilizando o mesmo procedimento:
2sin(30+y) = 1+cos(w)

Observe que 1+cos(w) = 1+cos(w), então:
sin(30+x) = sin(30+y)
sin(a) = sin(b) =>
a=b ou a = pi-b (lembre-se que o seno é simétrico no 1º e 2º quadrante)
Logo x = y ou x = pi - y

Se x=y , x-y = 0 (não há alternativa)
Se x = pi - y:
sin(x) + sin(y) = V3
sin(pi-y) + sin(y) = V3
sin(y) + sin(y) = V3
sin(y) = V3/2
y = pi/3
x = pi - pi/3 = 2pi/3
x - y = 2pi/3 - pi/3 = pi/3 (C)

por **Elcioschin** Seg 19 Out 2015, 08:49

Para x = 2.pi/3 e y = pi/3:

cosx + cosy = 1

cos(2.pi/3) + cos(pi/3) = 1 ---> - 1/2 + 1/2 = 1 ---> 0 = 1 ?????

Esta solução x = 2.pi/3 e y = pi/3 somente valeria se:

a) a 1ª equação fosse cosx + cosy = 0
ou
b) a 1ª equação fosse - cosx + cosy = 1