Funções

Sejam F:R->R(R=conjunto dos números reais) uma função estritamente  decrescente,isto é,quais quer x e y reais com xf(y).Dadas as afirmações:

I.f é injetora
II.f pode ser uma função par
III.Se f possui  inversa então sua inversa também é estritamente decrescente.

Podemos assegurar que :
A)Apenas as afirmações I e III são verdadeiras
B)Apenas as afirmações II e III são falsas
C)Apenas a afirmação I é falsa
D)Todas as afirmações são verdadeiras
E)Apenas a afirmação II é verdadeira  

Resposta:Letra A 

Como pode o item I ser verdadeiro?? Pois para que seja injetora a função deve satisfazer a condição de F(x)=F(Y) ,sendo X=Y .O que não ocorre !

Olá!

Para a função ser injetora, dados y1 e y2 distintos no conjunto imagem, seus relacionados no domínio devem ser, obrigatoriamente, distintos. 

Ou seja: y1 = y2 → x1 = x2
Ou ainda, equivalentemente: x1 ≠ x2 → y1 ≠ y2, para todo x de seu domínio.

Uma função estritamente decrescente implica em 

dados x1 e x2 distintos,  x1 > x2 → y1 < y2
Ou seja, as imagens de dois elementos quaisquer distintos também são distintas.

Logo, a função é injetora.

Se f fosse função par, seria simétrica em relação ao eixo Y, e isso acarretaria em f ter um "pedaço" crescente, contrariando a hipótese dada.

Se f tem inversa, então seu gráfico é simétrico em relação à identidade (y = x). Ou seja, ao ser "refletida", continuará estritamente decrescente.

Portanto, a resposta é: alternativa (A).

Abraços!

Muito Obrigada !! Explicação ótima !!