Funções Trigonométricas.

por ANTONIO MANOEL DE ALMEIDA Qui 18 Jun 2015, 12:56

Boa tarde!

Gostaria se possível, que me encaminhassem o desenvolvimento completo da questão abaixo, pois estou com enorme dificuldade em resolver a referida questão.

Obrigado,

   ANTONIO MANOEL DE ALMEIDA

(Unip – SP) Para a função f: R – R definida por f(x): sen² x -7sen x +6, é correto afirmar que:

a) f(π/2) = 1
b) f(3 π) = 0
c) 0 ≤ f(x) ≤ 14, ∀ x∈ IR
d) -1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀ x∈ IR
e) -4 ≤ f(x) ≤ 10, ∀ x∈ IR

RESPOSTA LETRA “C”

por **Carlos Adir** Qui 18 Jun 2015, 13:05

$\\ \mathrm{f(x)=sen^2 \ x - 7 \cdot sen \ x + 6} \\ \mathrm{f(x)=\left(sen \ x \right )^2 - 2 \cdot \left(sen \ x \right ) \cdot \left(\dfrac{7}{2} \right )+\left(\dfrac{7}{2} \right )^2-\left(\dfrac{7}{2} \right )^2+6} \\ \mathrm{f(x)=\left(sen \ x - \dfrac{7}{2} \right )^2 - \dfrac{25}{4}}$
Agora, podemos analisar, como (sen x-7/2)² é sempre positivo, então o mínimo ocorre quando o valor desta parte for o menor possível. E isso ocorre quando sen x = 1:
$\\ \mathrm{f\left(\dfrac{\pi}{2} \right )=\left(sen \ \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{7}{2} \right )^2 - \dfrac{25}{4}=0}$
Ou seja, o valor mínimo é zero.
Agora o máximo ocorre quando o valor do quadrado for o maior possivel, e isso ocorre quando sen x = -1:
$\\ \mathrm{f\left(\dfrac{3\pi}{2} \right )=\left(sen \ \dfrac{3\pi}{2} - \dfrac{7}{2} \right )^2 - \dfrac{25}{4}=14}$
Portanto, o máximo é 14.

Como vimos acima, f(pi/2)=0, ou seja, A está errada. Podemos perceber que f(x)=0 somente quando x=(pi/2)+2kpi, ou seja, B está errada.
C está correta, e por consequência D e E estão erradas.

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