Geometria espacial

POR FAVOR, ALGUÉM ME AJUDE:


Uma caixa cúbica ABCDEFGH, sem tampa, possui uma haste AM paralela ao plano da base. No esquema abaixo, observa-se que M é o ponto médio do segmento AC.




Nesse caso, o cosseno do ângulo AME corresponde a:
(A) 0                   (B) ½                    (C) Ö2/2                         (D) Ö3/2 


GABARITO: A

- pelo ponto M baixe uma perpendicular até a base do cubo (H)

temos o triângulo EHM retângulo em H

- então:

HM = x ( x é a aresta do cubo )

EH = ( x*\/2 )/2

logo:

EM² = EH² + HM²

EM² = 6*x²/4


- temos que:

EM² = AM² + AE²

( 6*x² )/4 = ( 2*x² )/4 + 2*x²

( 6*x² )/4 = ( 6*x² )/4

assim, o triângulo AME é retângulo em M seu cosseno wale zero.

É um cubo, logo as diagonais das faces são iguais (e de valor L√2). Sugere-se a análise do triângulo AME, que tem como lados AE - que tem o valor da diagonal -, AM que tem a metade do valor da diagonal e EM, que tem valor calculável por Pitágoras.

Observe que forma um triangulo imaginário, retângulo no base, que tem como catetos a altura (oposto a Ê) a metade da diagonal de baixo, segmento que parte de E e vai até o centro da base (adjacente a Ê).

EM² = Altura² + [(Diagonal)/2]²
EM² = L² + (L².2)/4
EM = (L.√6)/2

Podemos verificar que o triangulo AME é retângulo justamente em M, considerando o maior lado como a hipotenusa (no caso o lado AE), pois nele se aplica Pitágoras?

AE² = EM² + AM²

2.L² = 6L²/4 + 2L²/4
2L² = 8L²/4
2L² = 2L² (Logo a igualdade é verdadeira)

Se ele é retângulo em M, o ângulo AME é 90 graus, que tem como Cosseno 0, logo letra A.