[EFOMM 2009] Questão de Polinômios

por gbrazil Dom 31 maio 2015, 10:18

Bom dia!

Alguém poderia me ajudar a resolver está questão de polinômios da prova da EFOMM de 2009?

Grato desde já!

8ª Questão:

Após a determinação dos valores numéricos: p(-1), p(0) e p(1), verifica-se que o polinômio p(x) = x^3 + x^2 - x - 1/2 tem

(A) apenas uma raiz real.
(B) apenas duas raízes reais.
(C) três raízes reais, todas de mesmo sinal.
(D) três raízes reais, duas positivas e uma negativa.
(E) três raízes reais, duas negativas e uma positiva.

Gabarito: E

por **Nina Luizet** Dom 31 maio 2015, 10:19

Olá gbrazil!.

Dica: coloque sua questão no modo texto, ela está no modo imagem.Caso tiver o gabarito, não deixe de colocá-lo.Veja as normas do fórum.

por **jango feet** Dom 31 maio 2015, 10:55

Acredito que você quis dizer isto:

$p(x)=x^3+x^2-x-1/2$

Basta substituir os valores que a questão cede, pois já temos os coeficientes do polinômio:

$p(1)=1^3+1^2-1-1/2=1/2$

$p(0)=0^3+0^2-0-1/2=-1/2$

$p(-1)=(-1)^3+(-1)^2-(-1)-1/2=1/2$

Encontrei letra D cara.

por gbrazil Dom 31 maio 2015, 11:26

Sim sim, o enunciado é elevado a essas respectivas potências mesmo.

No entanto jogando os valores dados no polinômio não zeram o polinômio, então não são raízes.

Eu pensei que poderia haver alguma relação entre os valores obtidos jogando os que foram dado no enunciado mas não achei nenhum

O gabarito oficial está como letra E e dei uma checada, esta questão não foi anulada. Neutral

por **Elcioschin** Dom 31 maio 2015, 11:58

O gabarito está certo.

Desenhe um sistema xOy e poste os pontos A(1, 1/2), B(-1, 1/2) e C(0, -1/2)

Desenhe uma curva (parecida com uma parábola com a concavidade voltada para cima) ligando os pontos A, C e B

Note que no intervalo (-1, 0) existe uma raiz negativa e no intervalo (0, 1) existe uma raiz positiva.

Vamos testar x = - 2:

p(-2) = (-2)³ + 2² - (-2) - 1/2 ---> p(-2) = - 5/2

Plote o ponto D(-2, -5/2) e ligue o ponto B ao ponto D através de uma curva, concordando com a curva já desenhada

Note que existirá uma raiz no intervalo (-5/2, -1) ---> raiz negativa

Alternativa E

por gbrazil Dom 31 maio 2015, 12:20

Entendi perfeitamente pelo gráfico, mestre.

Existe alguma forma mais algébrica, por algum teorema ou algo similar, que resolva esta questão também?

E obrigado pela explicação!

por **Ashitaka** Dom 31 maio 2015, 12:34

$p(x)=x^3+x^2-x-1/2$

$p(1)=1^3+1^2-1-1/2=1/2$

$p(0)=0^3+0^2-0-1/2=-1/2$

$p(-1)=(-1)^3+(-1)^2-(-1)-1/2=1/2$

Solução sem gráfico, raízes ou teste de pontos:

Note que os valores de p(x) vem do menos infinito. Se p(-1) > 0 significa há uma raíz antes do -1, pois p(x) trocou de sinal. 1 raiz negativa.
0 está depois do -1, mas p(0) < 0, ou seja, p(x) trocou de sinal de novo antes de chegar no 0. Mais uma raíz negativa.
1 está depois do 0, mas p(1) > 0, ou seja, mais uma vez p(x) trocou de sinal, mas dessa vez foi entre 0 e 1 que ocorreu a troca. 1 raiz positiva.

Resumo: 2 negativas e 1 positiva.

Se tiver dificuldades com isso, o ideal é desenhar como o mestre Elcioschin disse.