Raiz do número complexo (trigonométrica)

por lucasbarion Dom 07 Set 2014, 13:48

Como calcular a raiz quadrada do número complexo
-7 + 24i, usando a definição de raiz enésima de um complexo (raiz enésima do módulo, e dividindo o argumento em "n" partes)?
(O maior problema está sendo encontrar o argumento principal da raiz, porque o ângulo não é notável)

A resposta é: 3 + 4i ou -3 - 4i

Ps: por favor, não quero a resolução na forma algébrica (a+bi)

por **Elcioschin** Dom 07 Set 2014, 20:04

Pitágoras ----> 25² = 7² + 24²

z = - 7 + 24i ----> z = 25.(- 7/25 + i.24/25) ---> z = 5².(- 7/25 + i.24/25) ---> |z| = 25 ----> |w| = 5

cosθ = - 7/25 ---> senθ = 24/25 ----> calcule sen(θ/2) e cos(θ/2)

√z = w = 5.{cos[(2.k.pi + θ)/2] + i.sen[(2.k.pi + θ)/2]}

Para k = 0 ---> w' = 5.[cos(θ/2) + i,sen(θ/2)] ---> Calcule w'

Para k = 1 ---> w" = 5.{cos(2pi + θ)/2] + i,sen(2pi + θ/2)] ---> Calcule w"

por lucasbarion Seg 08 Set 2014, 08:27

Certo. Como tenho o valor do arco, usei a expressão do "arco duplo" para encontrar o valor da metade, e acabei tendo quatro soluções: sen(x/2) = +- 4/5 e +- 3/5. Imagino que, como o número dado está no II quadrante, o seno e o cos do ângulo (metade) encontrado sejam positivos, mas qual valor é o correto, 3/5 ou 4/5?

por **Elcioschin** Seg 08 Set 2014, 11:38

sen(θ/2) = 4/5 ----> cos(θ/2) = 3/5
ou
sen(θ/2) = 3/5 ----> sen(θ/2) = 4/5

Experimente ambos os valores de θ/2 e calcule os valores correspondentes de w' e w"

Depois eleve w' e w" ao quadrado e veja qual deles chega em z = - 7 + 24i

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