ITA - Trigonometria V

por **Ashitaka** Ter 15 Jul 2014, 00:25

Para todo α e β,|β|< 1,a expressão tan[(arctg(α)+arcsin(β)] é igual a:
ITA - Trigonometria V UUmXCVO

Gab: A.
Mas o máximo que consegui chegar foi:
ITA - Trigonometria V OfchHNi

Acho que não estou sabendo usar a informação |β|< 1.
Alguém pode ajudar a melhor interpretar isso e aplicar ao problema?

por **Robson Jr.** Ter 15 Jul 2014, 02:38

Usando a tangente da soma, temos:

$\small tg(arctg(\alpha))+tg(arcsen(\beta))=\frac{tg(arctg(\alpha))+tg(arcsin(\beta))}{1-tg(arctg(\alpha)).tg(arcsin(\beta))}\\\\ \Rightarrow \ tg(arctg(\alpha))+tg(arcsen(\beta))=\frac{\alpha+tg(arcsin(\beta))}{1-\alpha.tg(arcsin(\beta))} \text{ (Eq.1)}$

Mas, como 1 + cotg²x = cossec²x:

$\small 1+\frac{1}{tg^2(arcsin(\beta))}=\frac{1}{sen^2(arcsin(\beta))} \\\\ \Rightarrow \ 1+\frac{1}{tg^2(arcsin(\beta))}=\frac{1}{\beta ^2} \\\\ \Rightarrow \ tg^2(\arcsin(\beta))=\frac{\beta ^2}{1-\beta ^2} \\\\ \Rightarrow \ tg(arcsin(\beta))=\frac{| \beta |}{\sqrt{1-\beta ^2}} \\\\ \Rightarrow \ arcsin(\beta)=arctg\left ( \frac{| \beta |}{\sqrt{1-\beta ^2}} \right ) \text{ (Eq.2)}$

Substituindo (Eq.2) em (Eq.1):

$\small tg(arctg(\alpha)+arcsin(\beta))=\frac{\alpha+\frac{|\beta|}{\sqrt{1-\beta ^2}}}{1-\frac{\alpha|\beta|}{\sqrt{1-\beta ^2}} } \\\\\\ \Rightarrow \ tg(arctg(\alpha)+arcsin(\beta))=\frac{\alpha \sqrt{1-\beta ^2}+|\beta|}{\sqrt{1-\beta ^2}-\alpha |\beta|}$

Não há dados suficientes para sabermos se |β| = +β ou se |β| = -β

**EDITADO para corrigir erros