ITA - Trigonometria IV

por **Ashitaka** Ter 15 Jul 2014, 00:17

Seja a equação:
ITA - Trigonometria IV BLWr6HT

Quais as condições sobre t para que a equação acima admita solução?

Gabarito:
ITA - Trigonometria IV CUGx1os

Esta questão, na verdade, eu vi uma resolução aqui e queria saber se alguém consegue enxergar uma mais simples... eu tentei aqui e não consegui chegar em nada que fosse mais ágil do que resolver dessa forma.

por **Robson Jr.** Ter 15 Jul 2014, 02:02

Para que o logaritmo exista, devemos ter t > 0. Satisfeita essa condição, a equação do segundo grau entre colchetes representará um número real. Seja k esse número.

$\small 3tg(3x)=k.tg(x)$

Usando tg(3x) = (3tgx - tg³x)/(1 - 3tg²x), temos:

$\small \frac{9tg(x)-3tg^3(x)}{1-3tg^2(x)}=k.tg(x) \\\\ \Rightarrow \ 9tg(x)-3tg^3(x)=k.tg(x)-3k.tg^3(x) \\ \Rightarrow \ tg(x)\left ( (3k-3)tg^2(x)+9-k \right )=0$

Mas, do enunciado, x ≠ n.pi. Portanto:

$\small (3k-3)tg^2(x)+9-k=0 \Rightarrow tg^2(x)=\frac{k-9}{3(k-1)}$

Como tg²(x) é um real positivo, existirá solução se:

$\small \frac{k-9}{3(k-1)}>0 \Rightarrow \ k<1 \text{ ou }k>9$

Impondo tais condições:

$\small \\ \bullet \ 3(ln(t))^2-4(ln(t))+2<1 \Rightarrow \frac{1}{3}<ln(t)<1 \Rightarrow e^{\frac{1}{3}}<t<e \\ \bullet \ 3(ln(t))^2-4(ln(t))+2>9 \Rightarrow ln(t)<-1 \text{ ou }ln(t)>\frac{7}{3} \Rightarrow \ t<e^{-1} \text{ ou } t>e^{\frac{7}{3}}$

Como, do início, t > 0:

$\small \boxed{0<t<e^{-1} \text{ ou }e^{\frac{1}{3}}<t<e \text{ ou }t>e^{\frac{7}{3}}}$

Só vejo essa solução, e ela é bem rápida de escrever (digitar, nem tanto).