Probabilidade

1. If n balls are placed at random into n cells, find the probability that exactly one cell remains empty. 


R: (n escolhe 2) * n!/n^n

 Não entendi bem o n^n. Pensei em usar combinações completas para achar o total de maneiras de dispôr as n bolas nas n urnas mas não cheguei nisso

Talvez isso ajude:[url=http://books.google.com.br/books?id=LpgNmI48W4QC&pg=PA24&lpg=PA24&dq=If+n+balls+are+placed+at+random+into+n+cells,+find+the+probability+that+exactly+one+cell+remains+empty.&source=bl&ots=ZT6Cc6txC1&sig=JPZqh5ms8b6SycD3DSBijWeNiH8&hl=pt-BR&sa=X&ei=x5gGUtX1ErOh4AP0_ICIAg&ved=0CEYQ6AEwAw#v=onepage&q=If n balls are placed at random into n cells%2C find the probability that exactly one cell remains empty.&f=false]http://books.google.com.br/books?id=LpgNmI48W4QC&pg=PA24&lpg=PA24&dq=If+n+balls+are+placed+at+random+into+n+cells,+find+the+probability+that+exactly+one+cell+remains+empty.&source=bl&ots=ZT6Cc6txC1&sig=JPZqh5ms8b6SycD3DSBijWeNiH8&hl=pt-BR&sa=X&ei=x5gGUtX1ErOh4AP0_ICIAg&ved=0CEYQ6AEwAw#v=onepage&q=If%20n%20balls%20are%20placed%20at%20random%20into%20n%20cells%2C%20find%20the%20probability%20that%20exactly%20one%20cell%20remains%20empty.&f=false[/url]

Exercício 1,22 bem parecido.

Sim, de fato, bem parecido, mas queria fazer de outra maneira. Tinha pensado em:

1. Fazer combinações completas para achar o número de maneiras de colocar n bolas em n urnas (todos os eventos do nosso espaço amostral)

2. Para achar todos os eventos em que só uma urna ficaria vazia, teriamos que colocar n-1 bolas em n urnas, de modo que uma só ficasse vazia. Assim, bastaria escolher 1 das n para ficar vazia.
Depois, a bola restante teriamos que colocar em uma das n-1 urnas que já tem uma bola. 

Mas não chego em nada parecido com o gabarito  Não entendo  por que esse raciocínio possa estar errado, ou que contas eu devo fazer.

Talvez as bolas sejam distintas, mas não parece que o são.

Também tinha pensado assim no começo. Para o item 1 você deveria fazer Cn,1+(n-2) Cn,2+k Cn,3...

Até agora estou achando essa soma um pouco difícil. Para achar o k por exemplo temos que computar todas as maneiras de se colocar n-3 bolas em 3 caixas, já que três estão fixas, assim o problema vai se reduzindo ao anterior(o problema de achar o k do próximo combinatório) K no caso de Cn,3 seria C(n-3),1+(n-2)C(n-3),2+....

Como você resolveu essa soma?

Não seria somente contar o número de soluções inteiras não negativas da equação x1 + x2 + ... + xn = n ? (para a primeira parte)

Pensei que seria (2n-1)!/(n! (n-1)! )

 Do jeitomque você fez seria realmente complicado demais.

 Para a segunda, pensei em algo assim:
Colocamos as n bolas nas n caixas. Há C_{n, 1}= n maneiras de escolher uma caixa para tirar uma bola. Mas temos que colocar essa bola em alguma das n-1 caixas restantes, já que é só uma caixa que fica fazia. 

Assim, pra mim, o número de maneiras de deixarmos uma única caixa cazia seria n(n-1)

Ótima análise, da forma em que eu pensei seria impossível mesmo. x1+x2+...x(n-1)=n , porque n-1 caixas são preenchidas e o resultado é n porque temos n bolas. O número de soluções não negativas disto é todas as formas que podemos distribuir as bolas. Isso dá:

(2n-2)!/(n-2)!n!

Essas são todas as maneiras de se escolher n-1 caixas e colocar n bolas, como você já falou ainda podemos escolher n caixas para ficar vazias assim:
n*(2(n-1))! /((n-2)!^2*n*(n-1))=(2*(n-1))! / (n-2)!^2 (n-1)

Mas isso ainda está longe do gabarito.  Mas acho que não considerou isso no seu primeiro passo. você fez como se todas as caixas fossem preenchidas. Ou eu me enganei em algo?

Vai indo a gente ou alguém acha um jeito:D . O problema é interessante e não devia ser tão contradizente assim.

Não fiz se todas as caixas fossem preenchidas. O que fiz no primeiro item foi contar o número de maneiras de colocar n bolas em n caixas, o que se fato é o numero de soluçõesinteiras de \sum_{i=1}^n x_i = n

A maneira que você preencheu as n-1 caixas está considerando as caixas distintas? Pois eu posso contar quando eu deixei a primeira vazia ou a segunda vazia, ou a terceira, ... , ou a n-ésima. Do jeito que você vez não parece considerar esse fato. Só conta a maneira que consegumos preencher a caixa.

Alémmdisso, fazedo assim, você não conta os casos em que temos uma das n-1 caixas vazias. O problema quer exatamente uma.

O problema é realmente interessante, mas esse n^n não da espaço para chegarmos numa resposta análoga a do gabarito rapidamente.