Bloco descendo sem atrito

por maria21 Sex 31 maio 2013, 12:09

Um bloco B1 parte do repouso do topo (A) de outro bloco B2, cuja face superior é um plano inclinado. Não há atrito entre todas as superfícies em contato. As massas de B1 e B2 são, respectivamente, m e 3m.

Link da imagem: imageshack.us/photo/my-images/198/exercicio.png/?sa=0

Sendo H = 4,2 m, g = 10 m/s2, sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8, a velocidade que o bloco B2 adquire, no instante em que o bloco B1 atinge o ponto B é igual a?

Bloco descendo sem atrito Exercicio

por **Leonardo Sueiro** Sex 31 maio 2013, 12:59

Tem gabarito?

por maria21 Sex 31 maio 2013, 13:18

Não tenho gabarito

por maria21 Sex 31 maio 2013, 13:25

Aliás, tenho as alternativas, mas a resposta correta não:

a) 1 m/s
b) 2 m/s
c) 3 m/s
d) 4 m/s
e) 5 m/s

por **ramonss** Sex 31 maio 2013, 15:17

Vou passar para o referencial do bloco B2, ok? Nesse referencial, B2 está em repouso (já que é o referencial dele) e há uma 'gravidade' no sentido oposto de onde o bloco B2 iria se fosse no referencial da terra, isto é, uma 'aceleração' (parecida com a gravidade) para -->.

g = gravidade local
a = aceleração provocada pela troca de referencial
N = normal do bloquinho
N' = normal no bloco B2
a' = aceleração do bloquinho ao longo do plano

No bloco B2:

Bloco descendo sem atrito 2hhzthx

Repouso na horizontal:
3m.a = N.senα (I)

Repouso na vertical:
N' = N.cosα + 3m.g (II)

No bloco B1:

Bloco descendo sem atrito 6qzb12

Repouso na direção da normal:
mgcosα = N + m.a.senα (III)

Mov. acelerado na direção do plano:
mgsenα + m.a.cosα = ma'
a' = gsenα + acosα (IV)

Agora basta resolver.
Tirando o valor de N em (I) em substituindo em (III):

$\\N = \frac{3ma}{sen\alpha}\\\\mg\cos\alpha =\left ( \frac{3ma}{sen\alpha} \right ) + m.a.sen\alpha\Rightarrow \boxed{a=\frac{g.cos\alpha .sen\alpha}{3 + sen^2\alpha}}$

Temos a aceleração do bloco B2. Agora, para achar a velocidade, falta o tempo (que B1 gasta pra descer tudo). Para isso, precisamos achar a aceleração de B1 ao longo do plano.

De (IV):

$\\a' = gsen\alpha + \left ( \frac{g.cos\alpha .sen\alpha}{3 + sen^2\alpha} \right )cos\alpha\\\\a' = g.sen\alpha\left ( \frac{cos^2\alpha + sen^2\alpha+3}{3+sen^2\alpha} \right )\\\\\boxed{a'=\frac{4gsen\alpha}{3+sen^2\alpha}}$

A distância que o bloco B1 percorre com essa aceleração é H/senα:

$\\\Delta H = \frac{at^2}{2}\Rightarrow \frac{H}{sen\alpha}=\frac{2gsen\alpha}{3+sen^2\alpha}.t^2\\\\\boxed{t=\sqrt{\frac{H(3 + sen^2\alpha)}{2gsen^2\alpha}}}$

A velocidade num movimento acelerado é:

$\\V=at\\\\V = \left (\frac{g.cos\alpha .sen\alpha}{3 + sen^2\alpha} \right )\sqrt{\frac{H(3 + sen^2\alpha)}{2gsen^2\alpha}} \\\\\\\boxed{V= cos\alpha.\sqrt{\frac{H.g}{6 + 2sen^2\alpha}}}$

Agora substitui os valores Very Happy

:

$V=0,8\sqrt{\frac{4,2\times 10}{6 + 2(0,6)^2}}\\\\\\\therefore \boxed{\boxed{V=2m/s}}$

por maria21 Sex 31 maio 2013, 16:14

Muito obrigada!

por **ramonss** Sex 31 maio 2013, 17:28

Nada!
Parece que ficou grande, mas foi a explicação.. no papel sai um pouco menor

por Lucas Januzzi Sáb 01 Jun 2013, 14:04

ramonss, cara, que explicação fenomenal! Perdoe a minha ignorância, mas, no que diz respeito à troca de referencial, eu não compreendi direito o que é a "força provocada pela gravidade"(3ma). O que ela é? ;-; agradeço a ajuda e parabéns, novamente, pela explicação

por **ramonss** Sáb 01 Jun 2013, 16:36

Lucas, obrigado!
Perceba que, como o referencial foi trocado, se havia alguma coisa acelerando para lá <--- com aceleração "a" no referencial da terra e nesse novo referencial ele está parado, isso quer dizer que o novo referencial produziu uma aceleração "a" oposta (--->).
Logo:
Essa força é a força capaz de produzir uma aceleração "a" a qualquer massa.
No bloco de massa M:
F = M.a
No bloco de massa 3m:
F = 3m.a
Num bloco de massa q:
F = q.a
e etc..

Daria pra resolver no referencial da terra, mas a resolução ficaria mais complicada e maior.
Abraço