questoes de analise combinatoria

Seguem as questões as quais nao consegui resolvê-las.

1) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuidos os trabalhos ?

a)12 b)18 c )36 d ) 72 e ) 108
R: Letra C

2) Três ingleses , quatro americanos e cinco franceses serao disposto em fila (linha reta) de modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas . De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês ? R: 34.560

3) Nove pessoas serão distribuidas em equipes de três para concorrer a uma gincana . O número de maneiras diferentes de formar as três equipes é menor do que 300 ?
R: Sim, vale 280 .


Peço essa ajuda nessas 3 questões . Obrigado a todos e bons estudos.

Caro Bernardo Kashdhsada, em relação a primeira questão eu pensei assim :

Se todas as empresas devem ser contratadas, e há 3 empresas para 4 trabalhos, terá que repetir uma.

Repetindo a empresa A:

A A _ _ : o terceiro trabalho pode ser feito por 2 (B ou C), e, como não pode repetir mais, o quarto só pode ser feito

por 1 (se o terceiro for B, não pode ser B de novo, só poderá ser C; o mesmo se o segundo for C) => AABC e AACB =>

2 * 1

A _ A _ : 2 * 1

A _ _ A : 2 * 1

_ A A _ : 2 * 1

_ A _ A : 2 * 1

_ _ A A : 2 * 1

No total, são 6 combinações, cada uma com 2 possibilidades; 6 * 2 = 12. Como há 3 empresas, fazemos isso com as 3,

então obtemos 3 * 12 = 36. Isso porque a que repetirá pode ser qualquer uma das 3.

Mas, mostrando outro raciocínio: Isso também é um arranjo de 4 tomado 2 a 2, ou seja, um agrupamento de 2

elementos dentre 4 em que a ordem é importante; isso porque AABC != AACB, mesmo porque todos possuem os

mesmos elementos, e o que muda é apenas a ordem deles.

Então, pela fórmula do arranjo: A(n,p) = n!/(n-p)! =>

A(4,2) = 4!/(4-2)! = 4*3*2! / 2! = 4*3 = 12

Porém, como temos 3 empresas, são 3 arranjos destes: 3*A(4,2) = 3*12 = 36

Em relação a 2 ª questão eu fiz assim :

1) 1º segmento da fila formado por um francês:

P5! = 120

2) 2º segmento da fila formado por ingleses e americanos:

P3 x P4 x 2 = 3! x 4! x 2 = 6 x 24 x 2 = 288

3) Número total de maneiras distintas:

120 x 288 = 34.560

4) Se quiser usar uma expressão única para a resolução, faça:

P5 x P3 x P4 x 2 = 5! x 3! x 4! x 2 = 120 x 6 x 24 x 2 = 34.560

Resposta: 34.560 maneiras distintas

Para a 3ª questão :

Primeira maneira:

Podemos primeiramente pensar de quantas formas é possível ordenar 9 pessoas em fila, no caso, 9! formas diferentes. Mas, se considerarmos as três primeiras pessoas como uma equipe A, as três pessoas centrais como uma equipe B, e as três últimas pessoas da fila como uma equipe C, estaríamos contando nessas 9! filas, inúmeras filas repetidas. A saber, aquelas em que trocamos a ordem das pessoas dentro de uma equipe, e aquelas em que apenas trocamos a ordem das equipes.
Daí, temos que dividr 9! por 3!, para cada uma das ordem dos elementos de uma das três equipes, e novamente por 3! para cada uma das ordens das três equipes, pois a ordem das equipes também não importa. Ficando então:
9!/(3!x3!x3!)x3! = 280

Tem essa segunda maneira ( talvez mais complicada) vou postar pra você ver ok

Segunda maneira;

Podemos utilizar a combinação simples, dividindo o problema em três casos: A escolha da primeira equipe, a escolha da segunda equipe e a escolha da terceira equipe.

Para a primeira equipe temos que escolher 3 pessoas dentre nove, escolha esta em que a ordem não importa, portanto fazemos:

C(9,3) = 9!/[(9-3)!x3!] = 9!/[6!x3!] = (9x8x7x6!)/[6!x3!] = (9x8x7)/3! = 84

Para a segunda equipe, temos que escolher 3 pessoas dentre 6 pessoas, pois na etapa anterior já escolhemos 3 pessoas dentre nove, sobrando então apenas 6 para escolher. Como a ordem também não importa, podemos fazer:

C(6,3) = 6!/[(6-3)!x3!] = 6!/[3!x3!] = (6x5x4x3!)/[3!x3!] = (6x5x4)/3! = 20

Para a terceira equipe, temos que escolher 3 pessoas dentre as 3 pessoas que sobraram após as duas equipes anteriores terem sido escolhidas. De fato, só há uma forma de assim fazê-lo. Mas de qualquer jeito, se usarmos a formula da quantidade de combinações simples teremmos:

C(3,3) = 3!/(3-3)!x3! = 3!/3! = 1

Pelo princípio multiplicativo temos:

84x20x1 = 1680.

Mas, como a ordem das equipes não importa, devemos dividir este resultado por 3! Ficando então:

1680/3! = 1680/3x2 = 1680/6 = 280

Espero que tenha te ajudado e até mais

Muito obrigado Ademir.