Potenciação colegio naval

Sendo x² =343,y³ =49² e z^6 =7^5 , o algarismo das unidades simples do resultado de (xy/z)^24 é:


A)1 B) 3 C)5 D)7 E) 9

E se botarem me explique oq significa "algarismo da unidade simples"

alguem?

x^2 = 343 ----> x^2 = 3^5 ----> x = 3^(5/2)

y^2 = 49² ----> y^2 = (7^2)^2 ----> y = 7^2

z^6 = 7^5 ----> z = 7^(5/6)

[xy/z]^24 = [3^(5/2)*7^2/7^(5/6)]^24 = [3^(5/2)*7^[2 - (5/6)]^24 = [3^(5/2)*7^(7/6)]^24 = 3^60*7^28

3^0 = 1
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27 ----> Termina em 7

A partira daí, de 4 em 4 expoentes o número final segue sempre 1, 3, 9, 7
Como 60 é múltiplo de 4 ----> 3^60 ----> (3^4)^15 = 1^15 ----> Termina em 1

7^0 = 1
7^1 = 7
7^2 = 49 ----> Termina em 9
7^3 = 363 ----> Termina em 3

A partira daí, de 4 em 4 expoentes o número final segue sempre 1, 7 9, 3
Como 28 é múltiplo de 4 ----> 7^28 ----> (4^4)^7 = 1^7 ----> Termina em 1

Como ambos terminam em 1, o produto deles também termina em 1 ----> Alternativa A

lnd_rj1

Você postou sua questão às 16:54 e cobrou às 18:50
Saiba que aqueles que podem ajudá-lo tem seus compromissos familiares, de trabalho, de saúde etc.
Assim ele não ficam à sua disposição para responder suas questões

Portanto não cobre! Tenha paciência e aguarde.

lnd_rj1 escreveu:Sendo x² =343,y³ =49² e z^6 =7^5 , o algarismo das unidades simples do resultado de (xy/z)^24 é:

A)1 B) 3 C)5 D)7 E) 9

Boa noite,

Transformando todos os números em potências de 7, vem:
343 = 7³
49 = 7²

xy/z = √7³ * ³√(7²)² / ⁶√(7⁵)

= 7^(3/2) * 7^(4/3) / 7^(5/6) = 7^(3/2 + 4/3) / 7^(5/6) =

= 7^(3*3/6 + 2*4/6) / 7^(5/6) = 7^(17/6)/7^(5/6) = 7^(17/6 - 5/6) = 7^(12/6) = 7²

(xy/z)²⁴ = (7²)²⁴ = 7⁴⁸


Calculemos, a seguir, em qual das unidades simples o cálculo dessa potência termina:
Expoentes de 7 ......'. — 1 ... 2 ..... 3 ........ 4 .......... 5

Potências respectivas — 7 ..49 .. 343 .. 2401 ... 16807

Unidades simples ..... — 7 ... 9 ..... 3 ........ 1 .......... 7

Observe que, a partir da 5ª potência, os finais começam a repetir-se.
Assim, basta dividirmos o expoente por 4, para averiguarmos quantos grupos de 4 expoentes são possíveis de se obter, e qual seria o resto dessa divisão, lembrando que:
um resto igual a 1 significará que o algarismo das unidades simples será igual a 7 (1º dos 4);
um resto igual a 2 significará que o algarismo das unidades simples será igual a 9 (2º dos 4);
um resto igual a 3 significará que o algarismo das unidades simples será igual a 3 (3º dos 4);
um resto igual a 0 significará que o algarismo das unidades simples será igual a 1 (4º dos 4);

48/4 — quociente=0, resto=0.
Sendo resto igual a 0, então o algarismo das unidades simples de 7⁴⁸ é igual a 1.

OBS.: Nas posições de um número, temos as seguintes classes:
unidades, dezenas e centenas Simples;
unidades, dezenas e centenas de Milhar;
unidades, dezenas e centenas de Milhão;
etc.






Um abraço.

Como vocês perceberam que de 4 em 4 expoentes o número final segue sempre 1, 7 9, 3????

Boa tarde,

Analisando o final de cada potência de 7, à medida que seus expoentes vão aumentando:

Expoente de 7 __1__2__3__4__5__6__7__8__9__10__11__12ª
Final corresp.: __7__9__3__1__7__9__3__1__7___9___3___1

1ª=7; 2ª=49; 3ª=343; 4ª=2401; etc

Como toda 4ª potência (potência 4, potência 8, potência 12, etc) produz final 1 (alg.unid.), então a 48ª potência (múlt. de 4) igualmente deverá produz final 1.




Um abraço.

Eu entendi. O que eu não entendi, foi como você percebeu isso de maneira rapido? tu foi fazendo 7^5........7^6........7^7 e vendo os finais?

Pense um pouquinho

7^0 = 1
7^1 = 7
7^2 = 49
7^3 = 363

7^4 = (7^1)*(7^3) = 7*343 ----> 7*3 = 21
7^5 = (7^1)*(7^4) ----> 7*21 ----> 7*1 = 7
7^6 = (7^1)*(7^5) ----> 7*7 ----> 7*7 = 49
7^7 = (7^1)*(7^6) ----> 7*9 -----> 7*9 = 63

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