[Binômios - Encontre p]

Determine o inteiro positivo para que os coeficientes de x e de x² no desenvolvimento de sejam iguais.

Spoiler:

obrigado!!!

São dois binômios ou aquele ponto é mesmo um sinal de vezes?

é um sinal de vezes

Veja o desenvolvimento do polinomio no wolfram alpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281+-+x%C2%B2%29^5%281+%2B+x%29^5

Essa questão está mal elaborada.
Como assim, iguais?Ele quis dizer que os coeficientes equidistantes devem ter módulos iguais?Ele impossibilitou o polinomio de ter um número ímpar de parcelas e um termo médio não nulo?

Se esse é o caso:
Equação reciproca de termo médio nulo ou equação reciproca de grau ímpar.
Observe a equação da seguinte maneira:
(1 - x²)^p*(1 + x)^p

Se p é par:

(1 - x²)^p é uma reciproca de 1 espécie de grau par o que faz a equação resultante ser uma reciproca de 1 espécie de grau par, onde o termo médio não é nulo.

Se p é ímpar:
(1 - x²)^p é uma equação reciproca de 2 espécie de grau par.
O resultado é uma equação reciproca de 2 espécie de grau ímpar.

Pelas condições estabelecidas (nada fornecido no enunciado!), segue que p ser ímpar é suficiente.
Desenvolva e observe que esse fato é suficiente.

po, eu esqueci de uma partezinha no enunciado, perdão galera

vou colocar lá!

(1 + x)^2p = 1 + 2px + [(2p)*(2p - 1)/2]x² + ..... = 1 + 2px + p*(2p - 1)x² + .....

(1 - x)^p = 1 - px + [p*(p - 1)/2]x² - .......

Potências de x na multiplicação de ambos: 2px - px = px

(2px)*(- px) + [p*(p - 1)/2]*x² + p*(2p - 1)*x² = - 2p² + p²/2 - p/2 + 2p² - p)*x² = (p²/2 - 3p/2)*x²

Coeficientes de x e x² são iguais ----> p²/2 - 3p/2 = p ----> p² - 3p = 2p ----> p = 5

Estava achando super estranho o enunciado. Quebrei a cabeça aqui à toa

Acabei de fazer no papel, estou sem celular e por isso não vai dar pra postar.Mas eis:

p(x) = (1 + x)^(2p)*(1 - x)^p

Vamos desenvolver o termo geral dos dois binomios:

(I): a[y] = C(2p,y)*x^y
(II): b[z] = C(p,z)*(-x)^z

O termo geral da sequência é, então, dado por:

Note que y+z é o expoente "total" de x.

No caso do expoente 1:
y + z = 1:

y = 0, z = 1: a[0] = 1, b[1] = -px
ou
y = 1, z = 0: a[1] = 2px, b[1] = 1
Então:
p[1] = 2px*1 -px*1 = px

No caso do expoente 2:
y + z = 2

y = 1, z = 1: a[1] = 2px, b[1] = -px
ou
y = 0, z = 2: a[0] = 1, b[2] = (p² - p)x²/2
ou
y = 2, z = 0: a[2] = (4p² - 4p)x²/2, b[0] = 1
Donde:
p[2] = -2p²x² + (4p² - 4p + p² - p)x²/2 => p[2] = (p² - 3p)x²/2

O coeficiente de p[2] deve ser igual ao de p[1]:
(p² - 3p)/2 = p => p² = 5p => p = 0 (Absurdo!) ou p = 5

Tem um jeito mais "direto" pra fazer, mas depende de uma fórmula mais complicada (e completa) para o caso de expressões com mais de 2 variaveis.

obrigado aos dois!!!