CN 2013 aritmética

por **raimundo pereira** Seg 08 Out 2012, 19:09

Um número N inteiro possui exatamente 70 divisores. Qual é o menor valor possível para |N + 3172| ?
a)2012
b)3172
c)5184
d)22748
e)25920

Gab A

por danjr5 Ter 09 Out 2012, 20:30

Raimundo,
boa noite!
Seja $\mathbb{Z} = \left \{..., - 2, - 1, 0, 1, 2,... \right \}$ , 70 é a quantidade total de divisores de $N$ , ou seja:
- 35 divisores negativos;
- 35 dividores positivos.

$\\ 35 = 5 \cdot 7 \\\\ 35 = ({\color{Red} 4} + 1) \cdot ({\color{Red} 6} + 1)$

Como queremos o menor valor, devemos 'trabalhar' com os negativos (divisores), e com as menores bases (primos), daí:

$\\ N = - 2^6 \cdot 3^4 \\\\ \boxed{N = - 5184}$

Podemos concluir que:

$\\ |N + 3172| = \\\\ |- 5184 + 3172| = \\\\ \boxed{\boxed{N = 2012}}$

por **raimundo pereira** Ter 09 Out 2012, 20:46

Perfeito Danjr .Obrigado. Ótima resolução .
Você me indicaria o livro( ou mesmo alguma apostila)onde posso encontrar esse tipo de exercícios. O melhor livro que tenho de aritmética é do Admo, e ele não aborda nesse nível. grt

por danjr5 Ter 09 Out 2012, 21:11

Caro Raimundo,
infelizmente não conheço livro algum de aritmética. O pouco que me lembro, estudei numa apostila de um curso preparatório para CN/EPCAR há 14 anos.