equação trigonometrica

Resolva a equação 3secx=2+tan^2x. Represente no 1° e 2° quadrante do circulo trigonometrico,depois generalize as soluções para x E R

Creio que a questão poderia ter sido postada na área de trigonometria do Ensino Médio. Vamos lá. Eu resolverei a equação e creio que a partir disso você consiga indicar e generaliza-la como pedido.

Entendi tg^2x como tg²x, então indicarei desta forma.

Usarei as seguintes propriades trigonométricas:

sen²x + cos²x = 1
tg x = sen x/cos x
sec x = (cos x)^-1

3 sec x = 2 + tg²x -> 3(cos x)^-1 = 2 + sen²x/cos²x
3(cos x)^-1 = (2cos²x + 1 - cos²x)/cos²x

Farei uma substuição de variável: y = cos x

3y^-1 = (y² + 1)/y²
3y = y² + 1 -> y² - 3y + 1 = 0

∆ = 9 - 4 = 5
y = (3 +- V5)/2 -> cos x = (3 +- V5)/2

Portanto:

x = arc cos (3 + V5)/2 ou x = arc cos (3 - V5)/2

Espero ter ajudado, qualquer coisa estamos aí.