Soma das medidas dos raios

Em um triângulo equilátero de 12 raiz de 3 m de perimetro , a soma das medidas dos raios das circunferencias inscrita e circunscrita a esse triangulo em m é :

O triângulo é equilatero e a soma de todos os lados é 12√3 , Então :
Seja L o lado do triângulo :

3L = 12√3 .'. L = 4√3

Para a circunferencia inscrita(circunferência dentro do triângulo) , vale a relação :

S = p.R

Onde S é a área do triângulo , p seu perimetro e R o raio da circunferência.

A área de qualquer triangulo é dado por :

S = (a.b/2).sen(α)

Onde a e b são dois catetos quaisquer e α é o ângulo entre eles.

Então :

S = (4√3.4√3)/2 . sen(60) = 16.3/2 . √3/.2 = 16.3.√3/4 = 12√3

Jogando na fórmula :

12√3 = 12√3 . R .'. R = 1m

Para a circunferência circunscrita ao triângulo , é so aplicarmos a lei dos senos para qualquer triângulo :

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R'

como a = b = c e os senos são iguais (em questão) :

4√3/sen(60) = 2R'
2√3 . 2/√3 = R'

R' = 4m

Obrigada !!!

Al.Henrique escreveu:Para a circunferencia inscrita(circunferência dentro do triângulo) , vale a relação :

S = p.R

Onde S é a área do triângulo , p seu perimetro e R o raio da circunferência.

A área de qualquer triangulo é dado por :

S = (a.b/2).sen(α)

Onde a e b são dois catetos quaisquer e α é o ângulo entre eles.

Então :

S = (4√3.4√3)/2 . sen(60) = 16.3/2 . √3/.2 = 16.3.√3/4 = 12√3

Jogando na fórmula :

12√3 = 12√3 . R .'. R = 1m

Na verdade o "p" da formula S = p.R, significa semi-perímetro. Logo, o correto seria:
12√3 = (12√3/2) . R .'. R = 2m


Outra forma de determinar R:

Sabendo que o centro de um círculo inscrito em um triângulo é o ponto de encontro de suas bissetrizes, conclui-se que O^BH = 30°, e assim:
tg 30° = r/2√3 --> √3/3 = r/2√3 --> r = 2 m

É verdade.
Obrigada,seu desenho ficou muito bom.

Obrigado, fiz no geogebra.