polinômio do quarto grau

é dado um polinômio x⁴ + Cx² + Dx + E com C,D e E REAIS , sabe-se que o número complexo (0,1) é raiz de P(x)=0 e dividindo-se P(x) por Q(x) obtem-se quociente Q1(x)=x^3 + 2x^2 + 4x + 8 e por resto 15 . Pede-se determinar P(x) e as raízes de p(x)=0.

Spoiler:

Vamos la

temos entao que:

P(x) = q(x). Q(x) + resto

entao:

x⁴ + Cx² + Dx + E = (x³ + 2x² + 4x + .Q(x) + 15

Observando.. Notamos que o polinomio Q(x) so pode ser de primeiro grau.

entao Q(x) = ax + b

vamos dividir agora o P(x) por Q(x)

vou colocar apenas os coeficientes para nao poluir muito a questao:

1 + 0 + C + D + E | a + b

agora dividiremos pelo q(x) ja dado

1 + 0 + C + D + E | a + b

-a -b..................| 1

Disso tiramos que 1 - a = 0 ja que o resto é de 0 grau

entao a = 1

continuando a divisao ja substituindo valores:

1 + 0 + C + D + E | 1 + b

-1 -b................. |1 + 2

0 -b + C + D + E |

0 -2 - 2b

Ora mais uma vez -b - 2 = 0

b = -2

descobrimos q(x) = x - 2

continuando a divisao substituindo valores:

1 + 0 + C + D + E | 1 - 2

-1 +2................. |1 + 2 +4

0 +2 + C + D + E |

0 -2 + 4

0 +0 +(C+4) +D +E

0 +0 -4 +8

de novo

C +4 -4 = 0

C= 0

e assim ate encontrar todas

ficara assim:

x^4 - 1= P(x)

Agora para achar as raizes. ele ja deu uma raiz complexa i logo seu conjugado tambem é entao -i. Temos duas raizes (i,-i)

agora igualamos o P(x) a zero

teremos

x^4 = 1

x = +-1

entao as raizes sao:

(1,-1,i,-i)

Olá Bruna,
como i é raíz ,entao -i tb é.

P(i)=0 -> 1 - C + Di + E = 0 (1)
P(-i)=0 -> 1 -C -Di +E = 0 (2)
de (1)-(2), 2Di = 0 --> D = 0

de (1) entao temos -> -C + E = -1 (3)

D= d.Q + R
P(x) = Q(x) . Q1(x) + R
Q(x) = ax+b
x^4 + Cx² + 0x + E = (ax+b)( x³ + 2x² + 4x + 8 ) + 15
veja que -2 é uma raíz do polinômio Q1(x) , entao jogando na relação:
(-2)^4 + (-2)²C + E = 0 + 15
4C + E = -1 ( 4)

de (4) e (3) , obtemos C = 0 e E = -1
logo, P(x) = x^4 - 1
x^4 - 1 = 0
(x²+1)(x²-1) = 0
x² = -1 -> x = +- i ( que ja conhecia..)
ou x² = 1 --> x = +-1
raízes: (1,-1,i,-i)