PG crescente de quatro termos

por **Bruna Barreto** Qua 18 Abr 2012, 11:17

Considere uma PG crescente de quatro termos. A soma
dos meios é igual a 48 e a soma dos extremos é igual a
112. O valor do primeiro termo é:
a) 2 c) 4
b) 3 d) 5

por rihan Qua 18 Abr 2012, 12:21

1) Dados:

PG: A1 ; A2 ; A3 ; A4

A2 + A3 = 48

A1 + A4 = 112

2) Pede-se: A1 = ???

3) Sabendo-se:

A1.A4 = A2.A3

A2 = A1.q

A1 + A2 + A3 + A4 = A1((q^4)-1)/(q-1)

4) Tem-se:

A2 + A3 = 48

A2.q + A1.q² = 48

A1(q + q²) = 48

A1 + A4 = 112

A1 + A1.q³ = 112

A1( 1 + q³) = 112

(q³ + 1)/(q + q²) = 112/48 = 7/3

3q³ + 3 = 7q + 7q²

3q³ -7q² - 7q + 3 = 0

P(-1) = -3 - 7 + 7 + 3 = 0

q = - 1 ---> não serve A1(-1 + (-1)²) = 48 = A1.0 = 48 !!!

P(3) = 3.27 - 7.9 -7.3 + 3 = 84 - 84 = 0

q = 3

A1(3 + 3²) = 48

12.A1 = 48

A1 = 4

A2 = 12

A3 = 36

A4 = 108

OK !

A1 = 4

por **Bruna Barreto** Qua 18 Abr 2012, 12:27

Rihan isso que vc falou:
3) Sabendo-se:

A1.A4 = A2.A3
é propriedade de PG?

por rihan Qua 18 Abr 2012, 12:38

Sim.

A1.A4 = A1. A1g³ = A1².q³

A2.A4 = A1.q .A1.q² = A1².q³

por jojo Qua 16 maio 2012, 23:29

Desculpe reviver o tópico, mas estou com dúvida na resolução, rihan.

Como você viu que -1 é raiz do polinômio? Cheguei ao mesmo polinômio, mas fui fazer a pesquisa de raízes e ficou uma confusão.

por rihan Qui 17 maio 2012, 05:53

Testando.

Começamos sempre com:

{0, -1, +1, ...}

Do polinômio, pelas relações de Viète-Girard, sabemos que :

a) produto das raízes é -1.

b) soma das raízes é 7/3.

O que leva a:

-1, 1/3 , 3

produto: (-1). (1/3) . 3 = -1

soma: -1 + 3 + 1/3 = 2 + 1/3 = 7/3

Como a PG foi dita crescente, temos que a razão é maior do que 1, logo, só pode ser 3.