Mostrar por indução que...
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Mostrar por indução que...
por Ivoski Dom 26 Fev 2012, 10:25
Mostre por inducao que para todo 
e todo numero real x > -1
vale a desigualdade:
^n \geq 1+nx "(1 + x)^n \geq 1+nx")
vale a desigualdade:
Ivoski- Padawan
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Re: Mostrar por indução que...
por Kongo Dom 26 Fev 2012, 11:16
Para n = 1:
\geq 1 + 1.x "(1+x)\geq 1 + 1.x")
Hipótese:^k\geq 1 + k.x "(1+x)^k\geq 1 + k.x")
Tese:^{k+1}\geq 1 + (k+1).x "(1+x)^{k+1}\geq 1 + (k+1).x")
Multiplicando a Hipótese por (1+x) nos dois lados:
(OBS1: Pude multiplicar a hipótese por (1+x) sem alterar a desigualdade, pois 1+x>0 pois x>-1 )
^{k}\geq 1 + k.x \\ (1+x)^{k}.(1+x)\geq (1 + k.x)(1+x) \\ (1+x)^{k+1}\geq 1 + x + +k.x +k.x^2 \\ (1+x)^{k+1}\geq 1 + x(k+1)+ k.x^2 "(1+x)^{k}\geq 1 + k.x \\ (1+x)^{k}.(1+x)\geq (1 + k.x)(1+x) \\ (1+x)^{k+1}\geq 1 + x + +k.x +k.x^2 \\ (1+x)^{k+1}\geq 1 + x(k+1)+ k.x^2")
Observe que:
^{k+1}\geq 1 + x(k+1)+ k.x^2 > 1 + x(k+1) "(1+x)^{k+1}\geq 1 + x(k+1)+ k.x^2 > 1 + x(k+1)")
Caso ainda tenha dúvidas o falecido professor Morgado resolveu essa questão neste vídeo sobre indução: https://www.youtube.com/watch?v=4M7G24RTnHg a partir do 16:50
Hipótese:
Tese:
Multiplicando a Hipótese por (1+x) nos dois lados:
(OBS1: Pude multiplicar a hipótese por (1+x) sem alterar a desigualdade, pois 1+x>0 pois x>-1 )
Observe que:
Caso ainda tenha dúvidas o falecido professor Morgado resolveu essa questão neste vídeo sobre indução: https://www.youtube.com/watch?v=4M7G24RTnHg a partir do 16:50
Kongo- Elite Jedi
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