Questão de Teoria elementar dos conjuntos

por RaphaDavid Qui 16 Fev 2012, 17:10

Fala, pessoal. Tudo bem?

Então, gostaria da ajuda de vocês para responderem esta pergunta:

Prove que:
$conjuntos - Questão de Teoria elementar dos conjuntos Gif$

(Lei de de Morgan)

Além disso, eu gostaria que me explicassem como eu devo proceder para provar questões desse tipo em teoria de conjuntos.

Obrigado!

por Luck Qui 16 Fev 2012, 18:57

Olá Rapha,
* = complementar
C = contido
divdindo em 2 casos:
X = (AUB)*
Y = A*∩B*

a) X C Y
Seja t pertecente a X. X = (AUB)* , temos que t nao pertence a AUB <-> t nao pertence a A ou t nao pertence a B, ou seja, t não pode estar em A e B ao mesmo tempo. Logo t nao pertence a A∩B, assim t pertence A*∩B*.
Entao X C Y

b) Y C X
Seja k pertence a Y. Como Y = A*∩B* temos que k nao pertence a A e k nao pertence a B, ou seja, k nao pertence a A e B ao mesmo tempo , assim k pertence a (AUB)*. Entao Y C X

Logo X = Y c.q.d

Outra solução:
podemos usar a tabela verdade pra provar:

A = p
B = q
A* = ~p
B* = ~q

p | q | ~p | ~q | (pvq) | ~(pvq) | (~p^~q)

V | V | F | F | V | F | F
V | F | F | V | V| F | F
F | V | V | F | V| F | F
F | F | V | V | F| V |V

ta em ordem, agora basta observar se a sentença ~(pvq) <-> (~p^~q) é toda verdadeira:
F | F
F| F --> V,V,V,V c.q.d
F| F
V| V

Questão de Teoria elementar dos conjuntos

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