conjuntos numéricos

Seja X o conjunto dos números da forma 31754xy
(x é o dígito das dezenas e y o dígito das unidades),
que são divisíveis por 15. O número de elementos de X
é
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9

eu Achei 6 , mas foi de uma maneira meio que demorada u.u
.Gostaria de outra maneira , obrigado!

possíveis valores para y: 0 ou 5 (deve ser divisível por 5), como também deve ser divisível por 3 (15=3x5), a soma dos dígitos também deve ser um múltiplo de 3, logo 20+x+y=3k, k inteiro positivo, como 20+y=5t, t inteiro positivo, basta encontrarmos os valores que x deve assumir tal que 5t+x=3k, os únicos possíveis serão 1, 4 e 7, assim, 2 possiveis valores para y e 3 valores possíveis para x, logo 2x3=6 números possíveis.

faraday escreveu:Seja X o conjunto dos números da forma 31754xy
(x é o dígito das dezenas e y o dígito das unidades),
que são divisíveis por 15. O número de elementos de X
é
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9

eu Achei 6 , mas foi de uma maneira meio que demorada u.u
.Gostaria de outra maneira , obrigado!

Boa tarde.

31754xy

3 + 1 + 7 + 5 + x + y = 3k → soma dos algarismos deve ser múltiplo de 3
20 + x + y = 3k
x + y = 3k- 20
x + y ≤ 18 → valor máximo de qualquer algarismo é 9
x + y ≥ 1 → pois menor valor para 3k=21

3k - 20 ≤ 18
3k ≤ 18 + 20
3k ≤ 38
k ≤ 38/3
k ≤ 12

Como o menor valor para 3k = 21, temos:
3k ≥ 21
k ≥ 21/3
k ≥ 7

7 ≤ k ≤ 12

x + y = 3k - 20 → Fazendo-se variar k desde 7 até 12, obtém-se:

x + y = 1, 4, 7, 10, 13, 16

Como o número é múltiplo de 5, a casa das unidades (y) só poderá ser "0" ou "5", o que elimina o 16 da listagem supra, restando:
x + y = 1, 4, 7, 10, 13

x + y
------
1 + 0
4 + 0
7 + 0
2 + 5
5 + 5
8 + 5

Conclusão:
x = 1, 4, 7, 2, 5, 8 → 6 elementos

Alternativa (A)






Um abraço.