Área de um pedaço do triângulo

Um triângulo isósceles é cortado ao meio pela altura traçada do ângulo do vértice.
São dadas as medidas da altura e também da metade do lado oposto, conforme a figura. O círculo inscrito no triângulo também é cortado ao meio por esta altura.

Não sei como prosseguir na questão...

Calculei a hipotenusa do triângulo e ''dobrei'' ele para o lado oposto e formar um triângulo maior e uma circunferência maior, desse modo descobri o raio através do calculo pela área do triângulo=semiperimetro vezes o raio (S=p.r) e encontrei o raio valendo √3
Porém agora não sei como prosseguir... 

Bem trabalhoso; só vejo solução usando GA:

Poste o passo-a-passo da sua solução para cálculo do raio

Seja O(0, 0) o pé da altura e os eixos x, y
Complete a o lado esquerdo da figura, com a a outra metade do triângulo e da circunferência λ.

Sejam A(0, 2+√3) e B(3+2.√3, 0) e C[-(3+2.√3), 0)] e E(0, r) o centro de λ

Calcule a equação da reta AB e da circunferência λ
Encontre o ponto de tangência T(xT, yT) de λ com AB e T' de λ com AC (T e T' são simétricos em relação ao eixo y)
Calcule TT' = 2.xT

Encontre o ângulo TÊT' e seja M o ponto médio de TT'

Calcule a área Sa do triângulo ATT'
Calcule a área Sc do setor circular ETT'
Calcule a área SE do triângulo ETT'

Agora usando soma e diferença encontre a área superior ATT' que é o dobro da área procurada

Caraca mestre, nunca pensei na g.a... Vou tentar fazer aqui utilizando da mesma, muito obrigado!!

Olá Rafa,
como você já calculou o raio como r = √3, vou partir desse valor como correto (não calculei-o).

Outro modo sem usar S = p.r



depois continua conforme acima.