lei dos senos e dos cossenos

por Tsuki Mikan Sex 26 Ago 2022, 23:11

Veja a medida dos lados de 5 triângulos retângulos distintos:
I. 325, 323 e 36
II. 325, 315 e 80
III. 325, 312 e 91
IV. 325, 300 e 125
V. 325, 280 e 165
A soma dos senos dos ângulos internos é maior no triângulo

A

I.
B

II.
C

III.
D

IV.
E

V.

por al171 Sáb 27 Ago 2022, 00:24

Da lei dos senos num triângulo qualquer cujos ângulos internos são \( \alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\), temos:
\[
\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c} = \frac{1}{2R} \implies \frac{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma}{a+b+c} = \frac{1}{2R} \Rightarrow \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = \frac{2p}{2R}
\]
\[
\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = \frac{p}{R}
\]
\(R\) é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, que, no caso de ser retângulo, possui uma hipotenusa coincidente ao seu diâmetro:
\[
2 R = \mathrm{hipotenusa} \Leftrightarrow R = \frac{\mathrm{hipotenusa}}{2}
\]
Para os efeitos desse exercício, sabemos que a hipotenusa de todos os trîangulos em questão vale 325. Assim,
\[
R = \frac{325}{2} \Rightarrow \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = \frac{2p}{325}
\]
A maior soma requisitada ocorre para o \(\triangle\) de maior perímetro \(2p\) (soma de seus lados), ou seja,
\[
\triangle_{\mathrm{IV}} = \{ 325, 300, 125 \}
\]