Matrizes simétricas

Considere as matrizes as matrizes simétricas que apresentam a forma geral [latex]\begin{bmatrix}4 & a^4 +2a\\ a^3 - a^2 & a^2\end{bmatrix}[/latex].

a) Determine a soma de todas as matrizes com essa propriedade.
b) Quantas dessas matrizes são inversíveis?

Não disponho do gabarito.

Desde já agradeço a ajuda.

Uma matriz A é simétrica quando for igual à sua matriz transposta A^t ---> A^t = A

Calcule A^t e iguale, termo a termo, com A --> Calcule os valores de a


Sendo A-¹ a matriz inversa ---> A.A-¹ = I ---> I = matriz identidade

Boa noite mestre,
Obrigado por responder!

Inicialmente eu procedi como o senhor especificou, mas eu não obtive muito progresso. No caso, a condição para ser simétrica para as matrizes 2x2 é só igualar os termos que estão na diagonal secundária.

[latex]a^4 + 2a = a^3 - a^2
a^4 -a^3 + a^2 +2a =0
(a- 0)(a^3 - a^2 +a +2) = 0[/latex]

Só que eu não consigo simplificar a equação de terceiro grau. Tentei usar o teorema das raízes racionais, mas nenhuma serve. Também não consegui fatorar a expressão.
Um tempinho atrás eu consegui deduzir que a matriz que tem o a=0 tem determinante nulo e, portanto, não é inversível. E que podem existir até outras 3 matrizes se [latex]a^3 - a^2 +a +2 = 0[/latex] não admitir raiz dupla. A raíz não pode ser tripla porque não forma um cubo perfeito. Enfim, foram só essas migalhas que eu reuni até agora.

Seja f(a) = a³ - a² + a + 2. Temos:
f(-1) = a³ - a² + a + 2 = - 1
e
f(0) = a³ - a² + a + 2 = 2 

Logo, existe uma solução para - 1 < x < 0.

Calculamos a derivada de f:
f'(a) = 3a² - 2a + 1 > 0 para qualquer a real.

Ou seja, só existe uma raiz e ela está em - 1 < x < 0.

Deve existir erro no enunciado, pois não é possível encontrar a segunda matriz simétrica.

Eu concordo coma a colega Rory:  com os dados fornecidos existe uma raiz real -1 < x < 0 ---> x ~= -0,8
E existem duas raízes complexas .
Suponho, portanto, que existe algum dado erado na matriz A

Uma tentativa usando Relações de Girard ---> Seja r a raiz no intervalo -1 < r < 0 e sejam s = x + y.i e t = x - y.i s raízes complexas:

r + s + t = 1 ---> r + (x + y.i) + (x - y.i) = 1 ---> r + 2.x = 1 ---> x = (1 - r)/2 ----> I

r.s + r.t + s.t = 1 ---> r.(x + y.i) + r.(x - y.i) + (x + y.i).(x - y.i) = 1 ---> 2.r.x + (x² - y²) = 1 ---> II

r.s.t = - 2 ---> r.(x + y.i).(x - y.i) = - 2 ---> r.(x² - y²) = - 2 ---> III

Resolvendo o sistema, encontra-se x, y em função de r

DE qualquer forma, a soma das 4 raízes vale ---> 0 + (r + s + t) = 0 + 1 = 1

Boa tarde;

Acho que deve ter algum erro mesmo, também não vejo muita perspectiva de resolução. De qualquer modo, muito obrigado a ambos!