[CN - Inequação]

Considere a inequação abaixo:



Seu conjunto solução mais amplo é:

a) [3;7)
b) [3;4) U [5;7)
c) (3;4) U (5;7)
d) [3;4] U [5;7]

gabarito:

Cara acho que a maneira mais inteligente na hora da prova seria substituir os valores apresentados nas alternativas. Fazer com o 3, o 4, o 5 e o 7, e analisar a sentença matemática. É fato que a solução se encontra entre 3 e 4, entretanto, não fica evidente que a solução se encontra entre 5 e 7, para descobrir basta tomar por exemplo o 6.

Resolver a inequação na minha opinião gera muito trabalho algébrico (não tentei desenvolver). Apenas uma opinião minha, aliás castelo, você está se preparando para o CN? Vejo que você posta questões frequentes sobre o CN.

Realmente, Petrich. Amanhã eu vou tentar usar parte da teoria de Bolzano para analisar os valores da inequação, como se os termos fossem "funções". Vou ver no que dá kkkkk.

Estou estudando pra EPCAR porque o Colégio Naval mudou a idade para a matrícula então não posso mais fazer a prova porque no ano da matrícula a minha idade ultrapassará o limite. Mas continuo pegando a matemática do Naval pra dar uma aprofundada e fazer a prova da EPCAR.

Vou deixar o desenvolvimento da resolução dessa inequação, mas o raciocínio do qedpetrich é o melhor para realizar uma prova de alternativas.

[latex]\sqrt{\frac{\sqrt{x-3} - \sqrt{7-x}}{\sqrt{2x}- \sqrt{x+4}}} \in \mathbb{R} \implies x \ge 3 \text{ e } x \le 7[/latex]

[latex](x \ge 3 \implies (x-3) \ge 0) \text{ e } (x \le 7 \implies (x - 7) \le 0) \implies x \neq 7, \text{ }\frac{x - 3}{ x-7} \le 0[/latex]

Note que para qualquer y, [latex]y \ge 0[/latex], tem-se que [latex]\sqrt{y} \ge 0 [/latex]

[latex] \sqrt{\frac{\sqrt{x-3} - \sqrt{7-x}}{\sqrt{2x}- \sqrt{x+4}}} \in \mathbb{R}, \text{ }x \neq 7 \implies \sqrt{\frac{\sqrt{x-3} - \sqrt{7-x}}{\sqrt{2x}- \sqrt{x+4}}} \ge 0 \ge \frac{x-3}{x-7}[/latex]

Portanto, o conjunto solução buscado é formado pelos valores de x para os quais expressão [latex]\sqrt{\frac{\sqrt{x-3} - \sqrt{7-x}}{\sqrt{2x}- \sqrt{x+4}}}[/latex] está definida em [latex]\mathbb{R}[/latex], ou seja, nenhuma raíz pode ter valores negativos dentro com x ≠ 7.

Pelas raízes internas:

[latex]x \ge 3, \text{ } x < 7, \text{ } x \ge 0, \text{ } x \ge -4 \implies 3 \le x <7[/latex]

Pela raíz externa:

[latex]\sqrt{x-3} - \sqrt{7-x} \ge 0,\sqrt{2x}- \sqrt{x+4} >0 \implies

3\le x < 7, \text{ } x \ge 5, \text{ } x \ge 4 \implies 5 \le x < 7[/latex]




[latex]\sqrt{x-3} - \sqrt{7-x} \le 0, \text{ }\sqrt{2x}- \sqrt{x+4} < 0 \implies

3\le x < 7, \text{ }x \le 5, \text{ } x < 4 \implies 3 \le x < 4[/latex]

Discordo da alternativa (b), porque devido ao termo racional no lado direito da inequação o valor de x não pode ser 7.

Bons estudos

Muitíssimo obrigado, joaoZacharias. Ajudou demaisss, valeuu!