ITA - Matrizes

Considere a matriz M = (mij)2x2 tal que mij = j - i + 1, com i, j = 1, 2, Sabendo-se que
 
então o valor de n é igual a:



A) 4
B) 5
C) 6
D)7
E) 8

Olá Jvictors021;

Armando a matriz M teremos:

[latex]M = \begin{bmatrix}1 & 2 \\0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix} + 2\cdot \begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0\end{bmatrix}[/latex]

Chamemos de I a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz [latex]A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0\end{bmatrix}[/latex]. Então:

[latex]M = \begin{bmatrix}1 & 2 \\0 & 1\end{bmatrix} = I + 2A[/latex]

Observe que I e A sempre comutam pois I é a matriz identidade e que [latex]A^2 = 0[/latex]. Analisando as potências de M:

[latex]M = I + 2A
M^2 = I^2 + 4A + 4A^2 = I + 4A
M^3 = M^2 \cdot M = I+6A + 8A^2 = I +6A
M^4 = M^3 \cdot M = I +8A +12A^2 = I+ 8A[/latex]

Aqui existe uma relação de recorrência do tipo:

[latex]M^n = I + (2n)\cdot A[/latex]

Eu deixo por sua conta prová-la(dica: use o princípio da indução)

Calculando a matriz B:

[latex]B = \sum\limits_{k=1}^{\mbox{n}}(M^k) - n\begin{bmatrix}1 & 0 \\1 & 1\end{bmatrix} = \sum\limits_{k=1}^{\mbox{n}}(I + (2k)A) - n(I + \begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 0\end{bmatrix}) \implies
B= nI + (\sum\limits_{k=1}^{\mbox{n}} 2kA) - nI -(n)\cdot \begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 0\end{bmatrix} = (\sum\limits_{k=1}^{\mbox{n}} 2k)\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0\end{bmatrix} - (n)\begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 0\end{bmatrix} \implies
B = \begin{bmatrix}0 & n(n+1) \\-(n) & 0\end{bmatrix} \implies

det(B) = n^2(n+1) = 252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = (6)^2 \cdot (7) \implies n =6[/latex]

Obs: se quiséssemos minimizar a escrita no momento de prova, poderíamos dizer que a matriz [latex]\begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 0\end{bmatrix}[/latex] equivale a [latex]A^t[/latex]

Bons estudos