UPE 2012

Menos de 100 alunos se inscreveram na Gincana de Matemática, e o professor Paulo deseja montar grupos de mesmo número de alunos, usando todos os alunos. Se ele tivesse um aluno a menos, poderia montar grupos de 5 alunos e, se ele tivesse dois alunos a menos, poderia montar grupos de 7 alunos. Além disso, se ele tivesse um aluno a mais, poderia montar grupos de 4 alunos.

Afinal, quantos alunos se inscreveram na Gincana de Matemática?
a) 28
b)35
c)51
d)80 
e) 84

Gabarito: C

x = número de alunos inscritos

5 é divisor de (x - 1)

7 é divisor de (x - 2)

4 é divisor de (x + 1)

(1).
Se 5 é divisor de (x - 1), então (x - 1) termina em 0 ou 5, o que significa que x só pode terminar em 6 ou 1.
Dica para o momento da prova: Como há apenas uma alternativa que termine em 6 ou 1 (c. 51), então esta é a resposta correta.

Agora, voltando à resolução:

(2).
Se 4 é divisor de (x + 1), então (x + 1), no mínimo, deve ser par. Portanto, x é um número ímpar e termina em 1, pois não poderia terminar em 6.

(3).
Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.
Se x termina em 1, então (x + 1) termina em 2. Temos que (x + 1) = 12 ou 32 ou 52 ou 72 ou 92, pois estas são as únicas possibilidades de números terminados em 2 e divisíveis por 4.
Lembre-se que se x é menor que 100, (x + 1) poderia, no máximo, ser igual a 100. Como não é o caso, (x+1) possui apenas 2 algarismos.

(4).
De acordo com as opções que achamos no item anterior, podemos concluir que (x - 2) = 9 ou 29 ou 49 ou 69 ou 89.
Desses, o único divisível por 7 é o 49. 
Portanto, (x - 2) = 49 e x = 51 (C).