PUC Rio - inequações

A) 0
B) 1
C)2
D)2019
E) infinitos


Resposta letra E.

Eu resolvi da seguinte forma: dividi a fração em 2 inequações:
Resolvi a inequação do dividendo e achei raízes complexas.
Na inequação do divisor encontrei a raiz -1.
Na hora de fazer o estudo dos sinais me compliquei. Como vou estudar o sinal de uma função que tem raizes imaginárias com outra função que tem raizes reais?

Olá samuel;

Perceba que f(x) = x² + 2x + 3 tem determinante menor que zero (∆ < 0), como a > 0 nesse caso a = 1, nossa concavidade é voltada de boca para cima, com estes parâmetros essa função do segundo grau nunca corta o eixo das abscissas, ou seja, a função é estritamente positiva para todo x pertencente aos reais. Note que desta forma nunca teremos f(x) = 0, justificado pelo exposto acima.

Para que a inequação seja negativa (nula não pode ser, pela justificativa dada), temos que analisar a função da reta g(x) = x + 1. A inequação é atendida para valores onde x < -1, pois neste intervalo a reta g(x) é estritamente negativa. Nosso intervalo é do -1 aberto até o menos infinito aberto ]-∞, -1[, ou seja, como se trata de uma reta, entre todos os pontos temos infinitas soluções. 

Espero ter ajudado! Qualquer dúvida estamos aí.

A função do 2º grau x² + 2.x + 3 = 0 tem raízes complexas
Isto significa que a parábola está sempre acima do eixo x, isto é, ela é sempre positiva
Assim, o sinal da função depende apenas do sinal do denominador

Devemos ter x + 1 ≠ 0 ---> x ≠ - 1

Existem infinitos valores inteiros negativos de x que atendem. Por exemplo:

Para x = - 2 ---> [(-2)² + 2.(-2) + 3]/(- 2 + 1) = - 3

Explicação gráfica do que Elci e Petrich fez assim...